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Questão de Matemática — MMC e MDC — FUNDATEC 2023

MatemáticaMMC e MDC
Código
qq890603
Banca
FUNDATEC
Órgão
Câmara Municipal de Sapucaia do Sul - RS
Ano
2023
Nível
Médio
Cargo
Agente Administrativo
O valor do cubo do máximo divisor comum entre os números 20, 30 e 50 é igual a:
  1. A10.
  2. B100.
  3. C1.000.
  4. D5.
  5. E125.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoC — 1.000.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra C — a conta chega a 1.000 (letra C).

A ideia por trás

O máximo divisor comum (MDC) entre dois ou mais números é o maior número que divide todos eles ao mesmo tempo. Para encontrá-lo, decompomos cada número em fatores primos e multiplicamos apenas os fatores comuns, usando o menor expoente de cada um. Por exemplo, o MDC de 12 e 18 é 6, pois 12 = 2²·3 e 18 = 2·3², e os fatores comuns são 2 e 3, com os menores expoentes 2¹ e 3¹, resultando em 2·3 = 6. Nesta questão, precisamos calcular o MDC de 20, 30 e 50 e depois elevar esse valor ao cubo, ou seja, multiplicá-lo por ele mesmo três vezes.

O que a questão dá

  • números: 20, 30 e 50

O que queremos: o cubo do máximo divisor comum entre 20, 30 e 50

Passo 1 — Fatorar cada número em primos

Para achar o MDC, precisamos ver quais fatores primos são comuns aos três números. Fatorar é escrever cada número como produto de números primos, que são os 'tijolos' da multiplicação.

Por que esta fórmula: A fatoração é a decomposição em fatores primos, feita dividindo o número pelos menores primos possíveis até sobrar 1.

20=22⋅5,30=2⋅3⋅5,50=2⋅5220 = 2^{2} \cdot 5, \quad 30 = 2 \cdot 3 \cdot 5, \quad 50 = 2 \cdot 5^{2}

De onde vem cada valor: 2020 = enunciado: 20 · 3030 = enunciado: 30 · 5050 = enunciado: 50

20=2⋅2⋅5,30=2⋅3⋅5,50=2⋅5⋅520 = 2 \cdot 2 \cdot 5, \quad 30 = 2 \cdot 3 \cdot 5, \quad 50 = 2 \cdot 5 \cdot 5

20 = 2²·5, 30 = 2·3·5, 50 = 2·5²

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de fatorar completamente, como escrever 20 = 4·5, pois 4 não é primo.

Passo 2 — Identificar os fatores comuns com menor expoente

O MDC é formado apenas pelos fatores que aparecem em todos os números, com o menor expoente. Isso garante que o resultado divida todos eles.

Por que esta fórmula: A regra do MDC: para cada fator primo comum, escolhemos o menor expoente entre as fatorações.

MDC=2min⁡(2,1,1)⋅5min⁡(1,1,2)\text{MDC} = 2^{\min(2{,}1,1)} \cdot 5^{\min(1{,}1,2)}

De onde vem cada valor: 2min⁡(2,1,1)2^{\min(2{,}1,1)} = passo 1: expoentes de 2 em 20, 30 e 50 são 2, 1 e 1 · 5min⁡(1,1,2)5^{\min(1{,}1,2)} = passo 1: expoentes de 5 em 20, 30 e 50 são 1, 1 e 2

MDC=21⋅51\text{MDC} = 2^{1} \cdot 5^{1}

MDC\text{MDC} = fatores comuns: 2¹ e 5¹

NÃO CAIA NESSA!

Incluir o fator 3, que não aparece em todos os números, ou usar o maior expoente (confundindo com MMC).

Passo 3 — Calcular o MDC multiplicando os fatores comuns

Com os fatores comuns e seus menores expoentes identificados, multiplicamos para obter o maior divisor comum.

Por que esta fórmula: O MDC é o produto dos fatores comuns com os menores expoentes.

MDC=2⋅5\text{MDC} = 2 \cdot 5

De onde vem cada valor: 22 = passo 2: 2¹ · 55 = passo 2: 5¹

MDC=2⋅5=10\text{MDC} = 2 \cdot 5 = \boxed{10}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de multiplicar os fatores, parando em 2 e 5 separados.

Passo 4 — Elevar o MDC ao cubo

O enunciado pede o cubo do MDC, ou seja, multiplicar o MDC por ele mesmo três vezes. Cubo é uma potência de expoente 3.

Por que esta fórmula: O cubo de um número é o número multiplicado por si mesmo três vezes: x³ = x·x·x.

103=10⋅10⋅1010^{3} = 10 \cdot 10 \cdot 10

De onde vem cada valor: 1010 = passo 3: MDC = 10

103=10⋅10⋅10=1.00010^{3} = 10 \cdot 10 \cdot 10 = \boxed{1.000}
NÃO CAIA NESSA!

Calcular 10² = 100 em vez de 10³, ou esquecer de elevar ao cubo e marcar 10.

Resposta: 1.000 (letra C)

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