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Questão de Matemática — Geometria Plana — FUNDATEC 2023

MatemáticaGeometria Plana
Código
qq890675
Banca
FUNDATEC
Órgão
Câmara de Agudo - RS
Ano
2023
Nível
Fundamental
Cargo
Auxiliar Legislativo
Um retângulo tem dimensões (x – 1) cm por (x + 3) cm. Sabendo que ele ocupa uma área equivalente a 77 cm² , seu perímetro é:
  1. A117 cm.
  2. B77 cm.
  3. C44 cm.
  4. D36 cm.
  5. E18 cm.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoD — 36 cm.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra D — a conta chega a 36 cm (alternativa D).

A ideia por trás

O retângulo é uma figura plana de quatro lados, com lados opostos iguais. Sua área mede a superfície ocupada e é calculada multiplicando o comprimento pela largura. O perímetro é o contorno total, a soma de todos os lados, e para um retângulo é o dobro da soma das duas dimensões. Nesta questão, a área é dada em função de uma incógnita x, então primeiro montamos uma equação para descobrir x, depois usamos esse valor para achar as dimensões e, por fim, o perímetro.

O que a questão dá

  • dimensões: (x – 1) cm e (x + 3) cm

  • área = 77 cm²

O que queremos: o perímetro do retângulo

Passo 1 — Montar a equação da área

A área de um retângulo é o produto das suas dimensões. Como conhecemos a área (77 cm²) e as dimensões em função de x, igualamos o produto a 77 para criar uma equação que nos permita achar x.

Por que esta fórmula: A fórmula da área do retângulo é A = base × altura. Aqui, as dimensões são (x-1) e (x+3), então o produto delas deve ser igual à área dada.

(x−1)(x+3)=77(x-1)(x+3) = 77

De onde vem cada valor: (x−1)(x-1) = enunciado: dimensão 1 · (x+3)(x+3) = enunciado: dimensão 2 · 7777 = enunciado: área = 77 cm²

(x−1)(x+3)=77(x-1)(x+3) = 77
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de igualar a 77, ou trocar a ordem das dimensões.

Passo 2 — Expandir e reorganizar a equação

Para resolver a equação do 2º grau, precisamos deixá-la na forma padrão ax² + bx + c = 0. Expandimos o produto e movemos todos os termos para um lado.

Por que esta fórmula: A expansão de (x-1)(x+3) usa a propriedade distributiva: x·x + x·3 - 1·x - 1·3. Depois, subtraímos 77 dos dois lados para igualar a zero.

x2+2x−80=0x^{2} + 2x - 80 = 0

De onde vem cada valor: x2x^{2} = passo 1: x·x · 2x2x = passo 1: 3x - x · −80-80 = passo 1: -3 - 77

x2+2x−80=0x^{2} + 2x - 80 = 0
NÃO CAIA NESSA!

Errar a soma dos termos lineares: 3x - x = 2x, não 4x.

Passo 3 — Resolver a equação do 2º grau

Com a equação na forma padrão, usamos a fórmula de Bhaskara para encontrar os valores de x que satisfazem a igualdade. Como x representa uma medida, descartamos a raiz negativa.

Por que esta fórmula: A fórmula de Bhaskara resolve qualquer equação do tipo ax² + bx + c = 0. Aqui, a=1, b=2, c=-80.

x=−b±b2−4ac2ax = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}

De onde vem cada valor: aa = passo 2: coeficiente de x² = 1 · bb = passo 2: coeficiente de x = 2 · cc = passo 2: termo constante = -80

x=−2±22−4⋅1⋅(−80)2⋅1x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-80)}}{2 \cdot 1}

x = 8 ou x = -10

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de descartar a raiz negativa, o que daria dimensões negativas.

Passo 4 — Calcular as dimensões do retângulo

Com x = 8, substituímos nas expressões das dimensões para obter os valores numéricos dos lados.

Por que esta fórmula: As dimensões são dadas por (x-1) e (x+3). Substituindo x por 8, calculamos cada lado.

lado1=x−1,lado2=x+3lado_1 = x - 1, lado_2 = x + 3

De onde vem cada valor: xx = passo 3: x = 8 · lado1lado_1 = enunciado: (x-1) · lado2lado_2 = enunciado: (x+3)

lado1=8−1=7,lado2=8+3=11=7 cme11cmlado_1 = 8 - 1 = 7, lado_2 = 8 + 3 = 11 = \boxed{7\ \text{cm} \text{e} 11 \text{cm}}
NÃO CAIA NESSA!

Usar x = -10, o que daria dimensões negativas.

Passo 5 — Calcular o perímetro

O perímetro é a soma de todos os lados. Como o retângulo tem lados opostos iguais, multiplicamos a soma das duas dimensões por 2.

Por que esta fórmula: A fórmula do perímetro do retângulo é P = 2 × (base + altura). Com base = 7 e altura = 11, calculamos.

P=2⋅(lado1+lado2)P = 2 \cdot (lado_1 + lado_2)

De onde vem cada valor: lado1lado_1 = passo 4: 7 cm · lado2lado_2 = passo 4: 11 cm

P=2⋅(7+11)=36 cmP = 2 \cdot (7 + 11) = \boxed{36\ \text{cm}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de multiplicar por 2, obtendo 18 cm (soma dos lados).

Resposta: 36 cm (alternativa D)

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