Matemática · FUNDATEC · 2023 | Questão sqc-qq890703

Juros simples: dobrando o capital

Gabarito: letra C. Para resgatar o dobro do valor aplicado em juros simples de 1% a.m., o montante final deve ser $M = 2C$ . Como $M = C(1 + i \cdot t)$ , temos $2C = C(1 + 0{,}01 \cdot t)$ , o que resulta em $t = 100$ meses, ou seja, 8 anos e 4 meses.

O que são juros simples?

Juros simples é o regime de capitalização em que os juros de cada período são calculados sempre sobre o capital inicial (principal). Isso significa que o rendimento cresce de forma linear: a cada mês, o valor dos juros é o mesmo, pois a base de cálculo não muda. É diferente dos juros compostos, em que os juros incidem sobre o montante acumulado (juros sobre juros), gerando crescimento exponencial.

A fórmula fundamental é:

M = C \cdot (1 + i \cdot t)

onde:

$M$ = montante (valor final)
$C$ = capital (valor inicial)
$i$ = taxa de juros (na mesma unidade de tempo de $t$ )
$t$ = tempo de aplicação

Resolvendo a questão

Queremos que o montante seja o dobro do capital: $M = 2C$ . Substituindo na fórmula:

2C = C \cdot (1 + 0{,}01 \cdot t)

Dividindo ambos os lados por $C$ (capital diferente de zero):

2 = 1 + 0{,}01 \cdot t

1 = 0{,}01 \cdot t

t = \frac{1}{0{,}01} = 100 \text{ meses}

Convertendo 100 meses em anos e meses: $100 \div 12 = 8$ anos e $4$ meses (pois $8 \times 12 = 96$ ; $100 - 96 = 4$ ). Portanto, o prazo é 8 anos e 4 meses.

Análise das alternativas

1Montante = 2C
22C = C(1 + 0,01t)
3t = 100 meses
48 anos e 4 meses

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Alternativa A — ❌ Incorreta

10 anos equivalem a 120 meses. Com 1% a.m., o montante seria $M = C(1 + 0{,}01 \cdot 120) = C \cdot 2{,}2$ , ou seja, 2,2 vezes o capital — mais que o dobro. O prazo correto é menor.

Alternativa B — ❌ Incorreta

8,4 anos correspondem a $8{,}4 \times 12 = 100{,}8$ meses. Isso daria um montante de $C(1 + 0{,}01 \cdot 100{,}8) = C \cdot 2{,}008$ , ligeiramente acima do dobro. O valor exato é 100 meses, não 100,8.

Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO

8 anos e 4 meses = 100 meses. Com 1% a.m., o montante é $C(1 + 0{,}01 \cdot 100) = C \cdot 2$ , exatamente o dobro. É a resposta correta.

Alternativa D — ❌ Incorreta

9 anos e 3 meses = 111 meses. O montante seria $C(1 + 0{,}01 \cdot 111) = C \cdot 2{,}11$ , ultrapassando o dobro. Prazo maior que o necessário.

Alternativa E — ❌ Incorreta

7 anos e 9 meses = 93 meses. O montante seria $C(1 + 0{,}01 \cdot 93) = C \cdot 1{,}93$ , ainda abaixo do dobro. Prazo insuficiente.

NÃO CAIA NESSA!

A banca explora a conversão de meses para anos. O candidato calcula 100 meses e, apressado, marca 10 anos (120 meses) ou 8,4 anos (100,8 meses). Lembre-se: 100 meses = 8 anos completos (96 meses) + 4 meses. Sempre faça a divisão inteira e o resto.

PEGA ESSA DICA!

Em questões de juros simples, isole a incógnita pedida. Aqui, queremos o tempo: $t = \frac{M/C - 1}{i}$ . Com $M/C = 2$ e $i = 0{,}01$ , $t = \frac{2 - 1}{0{,}01} = 100$ meses. Depois, converta para anos e meses com calma.

Gabarito: letra C