Matemática · FUNDATEC · 2023 | Questão sqc-qq890704

Função quadrática aplicada a lucro máximo

Gabarito: letra C. O lucro máximo é de R$ 4.604.000,00, atingido com a venda de 300 painéis solares. Isso porque o lucro é dado pela função quadrática $L(x) = -6x^2 + 360x - 796$ (em milhares de reais), cujo vértice ocorre em $x = 30$ (dezenas de painéis), e o valor máximo é $L(30) = 4.604$ milhares de reais. A pegadinha está na unidade: $x$ é medido em dezenas de painéis, então 30 dezenas = 300 painéis.

O problema envolve maximizar o lucro de uma empresa, que é a diferença entre a receita (preço de venda × quantidade) e o custo. A receita é dada por $R(x) = x \cdot (360x - 332) = 360x^2 - 332x$ (em milhares de reais), e o custo é $C(x) = 6x^2 + 464$ (em milhares de reais). Portanto, o lucro é:

L(x) = R(x) - C(x) = (360x^2 - 332x) - (6x^2 + 464) = -6x^2 + 360x - 796

Essa é uma função quadrática com coeficiente $a = -6 < 0$ , ou seja, uma parábola com concavidade para baixo, que possui um ponto de máximo no vértice. A coordenada $x$ do vértice é dada por $x_v = -\frac{b}{2a}$ . Substituindo $a = -6$ e $b = 360$ :

x_v = -\frac{360}{2 \cdot (-6)} = -\frac{360}{-12} = 30

Portanto, o lucro máximo ocorre quando $x = 30$ dezenas de painéis, ou seja, $30 \times 10 = 300$ painéis solares.

Para encontrar o valor do lucro máximo, substituímos $x = 30$ na função lucro:

L(30) = -6(30)^2 + 360(30) - 796 = -6 \cdot 900 + 10.800 - 796 = -5.400 + 10.800 - 796 = 4.604

Como o lucro está em milhares de reais, o valor máximo é 4.604 × 1.000 = R\ 4.604.000,00$.

A banca explora a conversão de unidades: $x$ é dado em dezenas de painéis, e o lucro em milhares de reais. Quem esquece de multiplicar por 10 (para obter o número de painéis) e por 1.000 (para obter o valor em reais) cai nas alternativas que apresentam 30 painéis ou R$ 4.604,00.

Alternativa A — ❌ Incorreta

Apresenta lucro de R$ 784,00 e 30 painéis. O valor 784 não corresponde a nenhum cálculo relevante (não é o lucro máximo, nem o custo, nem a receita). Além disso, 30 painéis está errado, pois o correto é 300 painéis (30 dezenas).

Alternativa B — ❌ Incorreta

Apresenta lucro de R$ 784.000,00 e 30.000 painéis. O valor 784.000 também não corresponde a nenhum resultado do problema. E 30.000 painéis seria equivalente a 3.000 dezenas, o que não é o ponto de máximo.

Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Apresenta lucro de R$ 4.604.000,00 e 300 painéis. Exatamente o que calculamos: $L(30) = 4.604$ milhares de reais = R$ 4.604.000,00, e 30 dezenas = 300 painéis.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Apresenta lucro de R$ 4.604,00 e 30 painéis. O valor 4.604 está correto em milhares de reais, mas a alternativa não converte para reais (faltou multiplicar por 1.000). E 30 painéis está errado, pois o correto é 300 painéis.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Apresenta lucro de R$ 4.604,00 e 30.000 painéis. O valor 4.604 está correto em milhares, mas não convertido para reais, e 30.000 painéis está completamente errado (seriam 3.000 dezenas).

NÃO CAIA NESSA!

A banca troca as unidades de medida. O enunciado diz que $x$ é em dezenas de painéis e o lucro em milhares de reais. O candidato que calcula $x = 30$ e acha que são 30 painéis (em vez de 300) ou que o lucro é R$ 4.604,00 (em vez de R$ 4.604.000,00) cai nas alternativas D ou E. Fique atento: sempre verifique se a unidade pedida na lacuna é a mesma da variável.

PEGA ESSA DICA!

Para problemas de lucro máximo com funções quadráticas, monte a função lucro $L(x) = R(x) - C(x)$ , identifique os coeficientes $a$ , $b$ , $c$ , e use $x_v = -\frac{b}{2a}$ para achar a quantidade que maximiza. Depois, substitua $x_v$ na função para achar o valor máximo. E não se esqueça de converter unidades conforme o enunciado!

Gabarito: letra C