Questão de Matemática — Médias — FUNDATEC 2023

Resolução

Gabarito: letra B — a conta chega a R$ 40,00 (alternativa B).

A ideia por trás

A média aritmética é uma medida de tendência central que resume um conjunto de valores: soma-se todos os elementos e divide-se pela quantidade deles. No dia a dia, usamos a média para entender um padrão, como o gasto médio por peça de roupa. A unidade é a mesma dos valores (reais) e indica o valor típico de cada peça.

A relação que governa é: média = (soma dos valores) ÷ (quantidade de elementos). Se a média deve ser no máximo 80, isso significa que a soma total não pode ultrapassar 80 vezes o número de peças. Quanto mais peças, maior pode ser a soma total sem estourar a média. Aqui, a condição é de limite máximo, então usamos a igualdade para achar o teto.

Nesta questão, precisamos calcular o total gasto até agora, somar o valor da blusa e impor que a média das 5 peças seja exatamente 80, para descobrir o valor máximo da blusa.

O que a questão dá

• 2 calças a R$ 95,00 cada

• 2 sapatos a R$ 85,00 cada

• 1 blusa de valor desconhecido

• média máxima por peça = R$ 80,00

O que queremos: o valor máximo que a blusa pode custar

Passo 1 — Calcular o gasto com as calças

Precisamos saber quanto Lúcia já gastou para depois somar com a blusa. Cada calça custa R$ 95,00 e ela comprou 2, então multiplicamos o preço pela quantidade.

Por que esta fórmula: O custo total de um grupo de itens iguais é o preço unitário vezes a quantidade.

De onde vem cada valor: $2$ = enunciado: 2 calças · $95$ = enunciado: R$ 95,00 cada

$G_{calcas}$ = R$ 190,00

Passo 2 — Calcular o gasto com os sapatos

Assim como as calças, precisamos do total gasto com sapatos para compor a soma geral.

Por que esta fórmula: Mesmo raciocínio: preço unitário vezes quantidade.

De onde vem cada valor: $2$ = enunciado: 2 sapatos · $85$ = enunciado: R$ 85,00 cada

$G_{sapatos}$ = R$ 170,00

Passo 3 — Somar o gasto atual

Com os gastos de calças e sapatos calculados, somamos para saber quanto já foi gasto antes da blusa.

Por que esta fórmula: A soma total é a adição das parcelas.

De onde vem cada valor: $G_{calcas}$ = passo 1: R$ 190,00 · $G_{sapatos}$ = passo 2: R$ 170,00

$G_{atual}$ = R$ 360,00

Passo 4 — Contar o total de peças

A média divide pela quantidade de elementos. Precisamos saber quantas peças Lúcia comprou no total, incluindo a blusa.

Por que esta fórmula: O total de peças é a soma das quantidades de cada tipo.

De onde vem cada valor: $2$ = enunciado: 2 sapatos · $1$ = enunciado: 1 blusa

Passo 5 — Montar a condição da média

A média deve ser no máximo R$ 80,00. Para achar o valor máximo da blusa, igualamos a média a 80, pois qualquer valor maior ultrapassaria o limite.

Por que esta fórmula: A média é a soma total dividida pelo número de peças. Aqui, a soma total é o gasto atual mais o valor da blusa (x).

De onde vem cada valor: $360$ = passo 3: R$ 360,00 · $x$ = valor da blusa (incógnita) · $5$ = passo 4: 5 peças · $80$ = enunciado: média máxima R$ 80,00

Passo 6 — Isolar o valor da blusa

Precisamos resolver a equação para descobrir quanto vale x. Multiplicamos ambos os lados por 5 para eliminar a divisão.

Por que esta fórmula: Para isolar x, primeiro eliminamos o denominador multiplicando por 5, depois subtraímos 360.

De onde vem cada valor: $5$ = passo 4: 5 peças · $80$ = enunciado: média máxima R$ 80,00 · $360$ = passo 3: R$ 360,00

$x$ = R$ 40,00

Resposta: R$ 40,00 (alternativa B)