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Questão de Matemática — Números Complexos — FUNDATEC 2023

MatemáticaNúmeros Complexos
Código
qq893365
Banca
FUNDATEC
Órgão
IF Farroupilha - RS
Ano
2023
Nível
Superior
Cargo
Professor EBTT - Matemática/Educação
Considerando os números complexos z1 = –1 + 7i e z2 = 6 – 3i, é correto afirmar que z1.z2 é igual a:
  1. A–27 + 45i.
  2. B–15 + 43i.
  3. C15 – 39i.
  4. D15 + 45i.
  5. E60.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoD — 15 + 45i.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Multiplicação de Números Complexos

Gabarito: letra D. O produto z1⋅z2=(−1+7i)(6−3i)z_1 \cdot z_2 = (-1 + 7i)(6 - 3i) resulta em 15+45i15 + 45i, pois aplicamos a propriedade distributiva e usamos a definição fundamental i2=−1i^2 = -1 (unidade imaginária).

A multiplicação de números complexos segue exatamente a mesma lógica da multiplicação de binômios: cada termo do primeiro fator multiplica cada termo do segundo, e depois simplificamos as potências de ii, lembrando que i2=−1i^2 = -1. Vamos ao cálculo passo a passo:

(−1+7i)(6−3i)=(−1)⋅6+(−1)⋅(−3i)+(7i)⋅6+(7i)⋅(−3i)(-1 + 7i)(6 - 3i) = (-1)\cdot 6 + (-1)\cdot(-3i) + (7i)\cdot 6 + (7i)\cdot(-3i)
=−6+3i+42i−21i2= -6 + 3i + 42i - 21i^2

Como i2=−1i^2 = -1, temos −21i2=−21⋅(−1)=+21-21i^2 = -21 \cdot (-1) = +21. Juntando os termos:

−6+21+(3i+42i)=15+45i-6 + 21 + (3i + 42i) = 15 + 45i

A pegadinha clássica desta questão é o sinal do termo −21i2-21i^2: muitos candidatos esquecem que i2=−1i^2 = -1 e tratam o termo como se fosse −21i-21i, ou erram o sinal ao substituir, obtendo 15−39i15 - 39i ou −27+45i-27 + 45i. O segredo é sempre substituir i2i^2 por −1-1 e só então somar as partes real e imaginária.

  1. 1Aplicar distributiva
  2. 2Substituir i² = -1
  3. 3Somar real e imaginária
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Alternativa A — ❌ Incorreta

O valor −27+45i-27 + 45i aparece se você errar o sinal do produto (−1)⋅6(-1)\cdot 6 (trocando por +6+6) e também errar o sinal de −21i2-21i^2 (tratando como −21-21). O correto é (−1)⋅6=−6(-1)\cdot 6 = -6 e −21i2=+21-21i^2 = +21, que somados dão +15+15, não −27-27.

Alternativa B — ❌ Incorreta

−15+43i-15 + 43i não corresponde a nenhuma combinação correta dos produtos parciais. O erro aqui provavelmente vem de somar −6+21-6 + 21 como −15-15 (erro de sinal) e de somar 3i+42i3i + 42i como 43i43i (erro de conta). O correto é 15+45i15 + 45i.

Alternativa C — ❌ Incorreta

15−39i15 - 39i é o resultado de quem acerta a parte real (−6+21=15-6 + 21 = 15) mas erra a parte imaginária: 3i+42i=45i3i + 42i = 45i, não −39i-39i. O sinal negativo de −39i-39i não tem origem em nenhum termo do produto — é um distrator puro.

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Aplicando a distributiva e substituindo i2=−1i^2 = -1, obtemos exatamente 15+45i15 + 45i. Confira: −6+3i+42i−21i2=−6+45i+21=15+45i-6 + 3i + 42i - 21i^2 = -6 + 45i + 21 = 15 + 45i.

Alternativa E — ❌ Incorreta

6060 seria o resultado se você simplesmente multiplicasse as partes reais (−1⋅6=−6-1 \cdot 6 = -6) e as partes imaginárias (7⋅(−3)=−217 \cdot (-3) = -21) e somasse, ignorando completamente a estrutura dos números complexos. O produto de dois números complexos não é o produto das partes — é a soma dos produtos cruzados, como fizemos acima.

NÃO CAIA NESSA!

A banca explora exatamente o erro de não substituir i2i^2 por −1-1. Veja: se você esquecer essa substituição, o termo −21i2-21i^2 vira −21-21, e o resultado sai −27+45i-27 + 45i (alternativa A). Se você trocar o sinal de i2i^2 (tratar como +1+1), o resultado sai 15−39i15 - 39i (alternativa C). O treino é sempre: ao multiplicar complexos, escreva i2=−1i^2 = -1 e substitua antes de somar. 💪

Gabarito: letra D

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