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Questão de Matemática — Probabilidade — FUNDATEC 2023

MatemáticaProbabilidade
Código
qq893371
Banca
FUNDATEC
Órgão
IF Farroupilha - RS
Ano
2023
Nível
Superior
Cargo
Professor EBTT - Matemática/Educação
Um número inteiro é escolhido aleatoriamente entre os números {1, 2, 3 ..... 40}. Qual é a probabilidade, em porcentagem, de esse número ser divisível por 6 e por 5?
  1. A1%.
  2. B1,5%.
  3. C2%.
  4. D2,5%.
  5. E5%.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoD — 2,5%.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra D — a conta chega a 2,5% (alternativa D).

A ideia por trás

A probabilidade mede a chance de um evento acontecer, e na definição clássica ela é a razão entre o número de casos favoráveis e o número de casos possíveis. Aqui, o espaço amostral tem 40 números igualmente prováveis, então a probabilidade será uma fração com denominador 40. O evento é 'ser divisível por 6 e por 5', que é uma condição dupla: o número precisa ser múltiplo de 6 e também múltiplo de 5 ao mesmo tempo. Para que um número seja divisível por dois números ao mesmo tempo, ele deve ser divisível pelo mínimo múltiplo comum (MMC) deles, pois o MMC é o menor número que é múltiplo de ambos. O MMC de 6 e 5 é 30, então os números que satisfazem a condição são exatamente os múltiplos de 30. Nesta questão, precisamos contar quantos múltiplos de 30 existem entre 1 e 40, e depois aplicar a fórmula da probabilidade.

O que a questão dá

  • espaço amostral: números de 1 a 40

  • condição: ser divisível por 6 e por 5

O que queremos: a probabilidade, em porcentagem, de o número escolhido ser divisível por 6 e por 5

Passo 1 — Calcular o MMC de 6 e 5

Para que um número seja divisível por 6 e por 5 ao mesmo tempo, ele precisa ser múltiplo comum desses dois números. O menor múltiplo comum é o MMC, e todos os múltiplos comuns são múltiplos do MMC. Então, encontrar o MMC é o primeiro passo para identificar os casos favoráveis.

Por que esta fórmula: O MMC é o menor número que é múltiplo de ambos. Como 6 e 5 são primos entre si (não têm fatores comuns), o MMC é o produto deles.

MMC(6,5)=6×5\text{MMC}(6, 5) = 6 \times 5

De onde vem cada valor: 66 = enunciado: divisível por 6 · 55 = enunciado: divisível por 5

MMC(6,5)=6×5=30\text{MMC}(6, 5) = 6 \times 5 = \boxed{30}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer que números primos entre si têm MMC igual ao produto, e tentar listar múltiplos um a um.

Passo 2 — Contar os múltiplos de 30 entre 1 e 40

Agora que sabemos que os números divisíveis por 6 e por 5 são os múltiplos de 30, precisamos contar quantos deles existem no intervalo de 1 a 40. Isso nos dá o número de casos favoráveis.

Por que esta fórmula: Para contar múltiplos de um número em um intervalo, dividimos o maior número do intervalo pelo número e consideramos apenas a parte inteira, desde que o menor número seja menor que o divisor. Aqui, 40 dividido por 30 dá 1, então há apenas um múltiplo.

quantidade=⌊4030⌋\text{quantidade} = \left\lfloor \frac{40}{30} \right\rfloor

De onde vem cada valor: 4040 = enunciado: números de 1 a 40 · 3030 = passo 1: MMC(6,5) = 30

quantidade=⌊4030⌋=1=1 muˊltiplo(onuˊmero30)\text{quantidade} = \left\lfloor \frac{40}{30} \right\rfloor = 1 = \boxed{1\ \text{m}ú\text{ltiplo} (\text{o} \text{n}ú\text{mero} 30)}
NÃO CAIA NESSA!

Contar os múltiplos de 6 e de 5 separadamente e somar, esquecendo que o número deve ser divisível pelos dois ao mesmo tempo.

Passo 3 — Aplicar a fórmula da probabilidade

Com o número de casos favoráveis (1) e o total de casos possíveis (40), podemos calcular a probabilidade. A probabilidade clássica é a razão entre esses dois números, pois todos os números têm a mesma chance de serem escolhidos.

Por que esta fórmula: A definição clássica de probabilidade é: P = casos favoráveis / casos possíveis. É a fórmula certa porque o espaço amostral é finito e equiprovável.

P=casos favoraˊveiscasos totaisP = \frac{\text{casos favoráveis}}{\text{casos totais}}

De onde vem cada valor: casos favoraˊveis\text{casos favoráveis} = passo 2: 1 múltiplo de 30 · casos totais\text{casos totais} = enunciado: 40 números

P=140=0,025P = \frac{1}{40} = \boxed{0{,}025}
NÃO CAIA NESSA!

Usar 30 como denominador, pensando que o espaço amostral são os múltiplos, em vez de 40.

Passo 4 — Converter a probabilidade para porcentagem

A questão pede a resposta em porcentagem. Como a probabilidade calculada está em fração decimal, precisamos multiplicar por 100 para obter o valor percentual.

Por que esta fórmula: Para transformar um número decimal em porcentagem, multiplicamos por 100. Isso porque 'porcentagem' significa 'por cem'.

P%=P×100P_{\%} = P \times 100

De onde vem cada valor: PP = passo 3: 0,025

P%=0,025×100=2,5 %P_{\%} = 0{,}025 \times 100 = \boxed{2{,}5\ \%}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de multiplicar por 100 e deixar a resposta como 0,025, ou errar a vírgula.

Resposta: 2,5% (alternativa D)

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