Questão de Matemática — Polinômios — FUNDATEC 2023

Resolução

Gabarito: letra E — a conta chega a k = 34, alternativa E.

A ideia por trás

O Teorema do Resto (ou Teorema de D'Alembert) é uma ferramenta que liga a divisão de polinômios ao cálculo do valor numérico. Ele afirma que, ao dividir um polinômio P(x) por um binômio da forma x – a, o resto dessa divisão é exatamente P(a). Isso significa que, para saber se a divisão é exata (resto zero), basta calcular P(a) e verificar se o resultado é zero. A divisão de polinômios é uma operação que busca encontrar um quociente e um resto, e quando o resto é zero, dizemos que o dividendo é divisível pelo divisor. O Teorema do Resto simplifica esse processo: em vez de fazer a divisão longa, substituímos a raiz do divisor no polinômio. Nesta questão, o divisor é x + 2, que pode ser escrito como x – (–2), então a raiz é a = –2. Para que P(x) seja divisível por x + 2, precisamos que P(–2) = 0. A partir daí, resolvemos uma equação simples para encontrar k.

O que a questão dá

• P(x) = 2x³ – 4x² + x + k

• Q(x) = x + 2

O que queremos: o valor de k para que P(x) seja divisível por Q(x)

Passo 1 — Encontrar a raiz do divisor

O Teorema do Resto diz que o resto da divisão de P(x) por (x – a) é P(a). Para usar esse teorema, precisamos saber qual valor de x anula o divisor, ou seja, a raiz de Q(x). Como Q(x) = x + 2, igualamos a zero: x + 2 = 0, logo x = –2.

Por que esta fórmula: A raiz do divisor é o valor de x que torna Q(x) = 0. Para um binômio do tipo x + b, a raiz é sempre –b.

De onde vem cada valor: $x$ = enunciado: Q(x) = x + 2 · $2$ = enunciado: Q(x) = x + 2

Passo 2 — Substituir x por –2 no polinômio

Pelo Teorema do Resto, o resto da divisão é P(–2). Para que a divisão seja exata, esse resto deve ser zero. Então calculamos P(–2) substituindo x por –2 em P(x).

Por que esta fórmula: A fórmula é a própria definição de P(x) com x trocado por –2. Precisamos calcular o valor numérico do polinômio nesse ponto.

De onde vem cada valor: $2$ = enunciado: coeficiente de x³ · $(-2)^{3}$ = passo 1: raiz do divisor · $-4$ = enunciado: coeficiente de x² · $(-2)^{2}$ = passo 1: raiz do divisor · $(-2)$ = passo 1: raiz do divisor · $k$ = enunciado: termo independente

Passo 3 — Calcular as potências

Para simplificar a expressão, precisamos calcular as potências de –2. Isso é aritmética básica, mas erros de sinal são comuns.

Por que esta fórmula: Potências de números negativos: expoente ímpar mantém o sinal negativo, expoente par torna positivo.

De onde vem cada valor: $(-2)^{3}$ = passo 2 · $(-2)^{2}$ = passo 2

Passo 4 — Substituir as potências na expressão

Agora que temos os valores das potências, substituímos na expressão de P(–2) para obter uma equação simples em função de k.

Por que esta fórmula: É a continuação do passo 2, agora com os números calculados.

De onde vem cada valor: $2 \cdot (-8)$ = passo 3: (-2)^3 = -8 · $-4 \cdot 4$ = passo 3: (-2)^2 = 4 · $(-2)$ = passo 1: raiz do divisor · $k$ = enunciado

Passo 5 — Simplificar a expressão

Precisamos somar os termos constantes para isolar k. Isso nos dá uma equação do tipo P(–2) = –34 + k.

Por que esta fórmula: Somar números com sinais: –16 –16 –2 = –34.

De onde vem cada valor: $-16$ = passo 4: -4·4 · $-2$ = passo 4: (-2) · $k$ = enunciado

Passo 6 — Igualar a zero e resolver para k

Para que a divisão seja exata, o resto deve ser zero, ou seja, P(–2) = 0. Isso nos dá uma equação linear em k, que resolvemos isolando k.

Por que esta fórmula: A condição de divisibilidade é P(–2) = 0. Então igualamos a expressão a zero e resolvemos.

De onde vem cada valor: $-34$ = passo 5 · $k$ = enunciado

Resposta: k = 34, alternativa E