Pular para o conteúdo principal

Questão de Matemática — Áreas e Perímetros — FUNDATEC 2023

MatemáticaÁreas e Perímetros
Código
qq893874
Banca
FUNDATEC
Órgão
IF-RS
Ano
2023
Nível
Superior
Cargo
Professor - Matemática
Qual é a área entre as parábolas y = x² − 4 e y = −x² + 2x?
  1. A0
  2. B3.
  3. C6.
  4. D9.
  5. E27.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoD — 9.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra D — a conta chega a 9 unidades de área (alternativa D).

A ideia por trás

A área entre duas curvas é uma medida da região delimitada por elas no plano. Para calculá-la, usamos a integral definida da diferença entre a função que está por cima e a que está por baixo, no intervalo entre os pontos onde as curvas se cruzam. A integral soma infinitas 'fatias' verticais de área, cada uma com altura igual à diferença entre as funções e largura infinitesimal dx. Quando uma função cresce, a área sob ela aumenta; quando a outra cresce, a área entre elas pode diminuir. A condição de validade é que as curvas sejam contínuas no intervalo e que a função de cima seja sempre maior que a de baixo. Nesta questão, precisamos encontrar os pontos de interseção, identificar qual parábola está acima, e integrar a diferença entre eles.

O que a questão dá

  • y1 = x² − 4

  • y2 = −x² + 2x

O que queremos: a área entre as duas parábolas

Passo 1 — Igualar as funções para achar os cruzamentos

A área entre curvas só existe entre os pontos onde elas se encontram. Igualar as duas expressões encontra esses pontos, que serão os limites da integral.

Por que esta fórmula: Igualamos y1 = y2 porque nos pontos de interseção as duas funções têm o mesmo valor de y.

x2−4=−x2+2xx^{2} - 4 = -x^{2} + 2x

De onde vem cada valor: x2−4x^{2} - 4 = enunciado: y1 = x² − 4 · −x2+2x-x^{2} + 2x = enunciado: y2 = −x² + 2x

x2−4=−x2+2xx^{2} - 4 = -x^{2} + 2x
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de igualar as duas funções e tentar integrar sem limites.

Passo 2 — Resolver a equação para obter os limites

A equação do passo anterior precisa ser resolvida para encontrar os valores de x onde as curvas se encontram.

Por que esta fórmula: Reorganizamos a equação para o formato padrão ax² + bx + c = 0 e fatoramos para achar as raízes.

2x2−2x−4=0⇒x2−x−2=0⇒(x−2)(x+1)=02x^{2} - 2x - 4 = 0 \Rightarrow x^{2} - x - 2 = 0 \Rightarrow (x-2)(x+1) = 0

De onde vem cada valor: 2x2−2x−42x^{2} - 2x - 4 = passo 1: trazendo todos os termos para um lado · x2−x−2x^{2} - x - 2 = passo 2: dividindo por 2 · (x−2)(x+1)(x-2)(x+1) = passo 2: fatoração

(x−2)(x+1)=0(x-2)(x+1) = 0

x = -1 e x = 2

NÃO CAIA NESSA!

Errar a fatoração ou esquecer de dividir por 2, obtendo raízes erradas.

Passo 3 — Descobrir qual parábola fica por cima

A integral da área usa a diferença entre a função de cima e a de baixo. Precisamos saber qual é qual no intervalo entre -1 e 2.

Por que esta fórmula: Testamos um ponto dentro do intervalo, como x = 0, e comparamos os valores de y das duas funções.

y1(0)=02−4=−4,y2(0)=−02+2⋅0=0y_1(0) = 0^{2} - 4 = -4, \quad y_2(0) = -0^{2} + 2 \cdot 0 = 0

De onde vem cada valor: y1(0)y_1(0) = enunciado: y1 = x² − 4, substituindo x = 0 · y2(0)y_2(0) = enunciado: y2 = −x² + 2x, substituindo x = 0

y1(0)=−4,y2(0)=0y_1(0) = -4, \quad y_2(0) = 0

y2 está acima de y1

NÃO CAIA NESSA!

Escolher um ponto fora do intervalo, o que pode inverter a ordem das funções.

Passo 4 — Montar a integral da diferença

A área entre curvas é a integral da função de cima menos a de baixo, entre os limites encontrados. Agora temos todos os ingredientes.

Por que esta fórmula: A fórmula da área entre curvas é A = ∫(f_top - f_bottom) dx, onde f_top é a função que está acima e f_bottom a que está abaixo.

A=∫−12[(−x2+2x)−(x2−4)] dxA = \int_{-1}^{2} [(-x^{2}+2x) - (x^{2}-4)]\,dx

De onde vem cada valor: −x2+2x-x^{2}+2x = passo 3: função de cima · x2−4x^{2}-4 = passo 3: função de baixo · −1e2-1 e 2 = passo 2: limites de integração

A=∫−12(−2x2+2x+4) dxA = \int_{-1}^{2} (-2x^{2} + 2x + 4)\,dx
NÃO CAIA NESSA!

Inverter a ordem das funções, resultando em área negativa.

Passo 5 — Calcular a integral definida

A integral montada precisa ser calculada para obter o valor numérico da área.

Por que esta fórmula: Integramos termo a termo: a integral de x^n é x^(n+1)/(n+1), e depois aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo.

A = [-frac2x^33 + x^2 + 4x]_-1^2

De onde vem cada valor: -frac2x^33 = integral de -2x^2 · x2x^{2} = integral de 2x · 4x4x = integral de 4

A = [-frac2 · 2^33 + 2^2 + 4 · 2] - [-frac2 · (-1)^33 + (-1)^2 + 4 · (-1)]
A=9A = \boxed{9}
NÃO CAIA NESSA!

Errar a avaliação nos limites, como esquecer de subtrair o valor em -1.

Resposta: 9 unidades de área (alternativa D)

Link permanente: /questoes/qq893874