Questão de Matemática — Funções — FUNDATEC 2023

Transformações no gráfico de funções

Gabarito: letra C — apenas a assertiva II está correta. A assertiva I inverte o sentido da translação horizontal (somar $c>0$ à variável $x$ desloca o gráfico para a esquerda, não para a direita), e a assertiva III troca o efeito da multiplicação da variável por $c>1$ (encolhe horizontalmente, não alonga). A assertiva II está correta: somar uma constante positiva à função desloca o gráfico para cima.

O tema é transformações geométricas no gráfico de uma função real $y = f(x)$. Quando alteramos a expressão da função, o gráfico sofre translações (isometrias, que preservam a forma) ou alongamentos/encolhimentos (que alteram a forma). A banca cobra exatamente a distinção entre o que acontece quando a constante é somada à variável independente ($x$) e quando é somada à função ($f(x)$), além do efeito da multiplicação da variável por uma constante.

A regra central é:

• Translação vertical: $y = f(x) + c$ desloca o gráfico para cima se $c > 0$ e para baixo se $c < 0$.

• Translação horizontal: $y = f(x + c)$ desloca o gráfico para a esquerda se $c > 0$ e para a direita se $c < 0$. O sinal é invertido em relação à intuição: somar à variável empurra o gráfico para o lado negativo do eixo $x$.

• Alongamento/encolhimento horizontal: $y = f(c \cdot x)$ encolhe o gráfico horizontalmente se $c > 1$ e alonga se $0 < c < 1$. O fator $c$ comprime ou estica o eixo $x$.

A pegadinha clássica é justamente inverter esses sentidos, como a banca fez nas assertivas I e III. O candidato que decora "somar à variável desloca para a direita" sem verificar o sinal erra a questão.

Assertiva I — ❌ Incorreta

A assertiva afirma que somar $c > 0$ à variável $x$ translada o gráfico para a direita. Isso está invertido. A regra correta é: $y = f(x + c)$ com $c > 0$ desloca o gráfico para a esquerda. Por exemplo, $y = \text{sen}(x + 1)$ é o gráfico de $y = \text{sen}(x)$ deslocado 1 unidade para a esquerda. Para deslocar para a direita, precisamos de $y = f(x - c)$ com $c > 0$.

Assertiva II — ✅ Correta

A assertiva está correta. Somar uma constante $c$ à função, ou seja, $y = f(x) + c$, translada o gráfico verticalmente: para cima se $c > 0$ e para baixo se $c < 0$. Por exemplo, $y = 3 + \text{sen}(x)$ é o gráfico de $y = \text{sen}(x)$ deslocado 3 unidades para cima, e $y = -4 + \text{sen}(x)$ é o gráfico deslocado 4 unidades para baixo.

Assertiva III — ❌ Incorreta

A assertiva afirma que multiplicar a variável $x$ por $c > 1$ alonga horizontalmente o gráfico. Isso está invertido. A regra correta é: $y = f(c \cdot x)$ com $c > 1$ encolhe o gráfico horizontalmente. Por exemplo, $y = \text{sen}(2x)$ é o gráfico de $y = \text{sen}(x)$ encolhido horizontalmente (período reduzido de $2\pi$ para $\pi$). Para alongar horizontalmente, precisamos de $0 < c < 1$, como em $y = \text{sen}\left(\frac{1}{2}x\right)$, cujo período dobra para $4\pi$.

Gabarito: letra C — apenas a assertiva II está correta.