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Questão de Matemática — Integral — FUNDATEC 2023

MatemáticaIntegral
Código
qq894836
Banca
FUNDATEC
Órgão
IF-SC
Ano
2023
Nível
Superior
Cargo
Professor EBTT - Matemática
Sendo c = ∫e¹₀ x ln(x) dx, o valor de c é:
  1. A2e²
  2. B1/4
  3. C2
  4. De²/₄
  5. EA integral não converge.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoD — e²/₄

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra D — a conta chega a c = (e² + 1)/4. Nenhuma das alternativas corresponde exatamente; a alternativa D (e²/4) seria o resultado se o limite inferior fosse 0. Portanto, há um erro no enunciado ou nas opções..

A ideia por trás

A integração por partes é uma técnica para integrar produtos de funções de tipos diferentes, como um logaritmo e uma potência. Ela inverte a regra do produto da derivação: se temos u(x)v(x), sua derivada é u'v + uv', então uv = ∫u'v + ∫uv', o que rearranjado dá ∫u dv = uv - ∫v du. A ideia é escolher u e dv de modo que a nova integral ∫v du seja mais simples que a original. Nesta questão, o integrando x ln(x) é um produto de um logaritmo (que deriva para algo simples) e uma potência (que integra para algo simples), então a integração por partes é o caminho natural. O resultado final é avaliado nos limites 1 e e, usando o Teorema Fundamental do Cálculo.

O que a questão dá

  • limite inferior: 1

  • limite superior: e

  • integrando: x ln(x)

O que queremos: o valor da integral definida c

Passo 1 — Escolher u e dv

Para aplicar a integração por partes, precisamos separar o integrando em duas partes: uma que será derivada (u) e outra que será integrada (dv). A escolha certa simplifica a integral. Aqui, escolhemos u = ln(x) porque sua derivada é 1/x, que é simples, e dv = x dx porque sua integral é x²/2, também simples. Essa escolha faz a nova integral ∫v du virar ∫(x/2) dx, que é imediata.

Por que esta fórmula: A integração por partes é a técnica adequada quando o integrando é um produto de funções de tipos diferentes (logaritmo e polinômio). A fórmula é ∫u dv = uv - ∫v du.

u=ln⁡(x),dv=x dxu = \ln(x), \quad dv = x\,dx

De onde vem cada valor: uu = enunciado: o logaritmo do integrando · dvdv = enunciado: a potência do integrando

NÃO CAIA NESSA!

Escolher u = x e dv = ln(x) dx, o que complica a integral em vez de simplificar.

Passo 2 — Calcular du e v

Precisamos das derivadas e integrais das partes escolhidas para substituir na fórmula da integração por partes. Derivar ln(x) dá 1/x, e integrar x dá x²/2.

Por que esta fórmula: A derivada do logaritmo natural é 1/x, e a integral de uma potência é a potência com expoente aumentado dividida pelo novo expoente.

du = (1)/(x) dx, quad v = fracx^22

De onde vem cada valor: dudu = derivada de u = ln(x) · vv = integral de dv = x dx

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer o dx em du ou errar a integral de x (por exemplo, escrever x² em vez de x²/2).

Passo 3 — Aplicar a fórmula da integração por partes

Com u, dv, du e v em mãos, substituímos na fórmula ∫u dv = uv - ∫v du. Isso transforma a integral original em uma expressão com uma nova integral que deve ser mais simples.

Por que esta fórmula: A fórmula da integração por partes é a ferramenta que relaciona a integral do produto com a integral da derivada do produto.

int xln(x) dx = ln(x)·fracx^22 - int fracx^22·(1)/(x) dx

De onde vem cada valor: uu = passo 1 · vv = passo 2 · dudu = passo 2

int xln(x) dx = ln(x)·fracx^22 - int fracx^22·(1)/(x) dx
NÃO CAIA NESSA!

Trocar os sinais ou esquecer o sinal de menos na fórmula.

Passo 4 — Simplificar a nova integral

A nova integral ∫(x²/2)·(1/x) dx pode ser simplificada cancelando um x, resultando em ∫(x/2) dx, que é fácil de integrar.

Por que esta fórmula: Simplificar a expressão antes de integrar evita erros e torna a integral imediata.

int fracx^22·(1)/(x) dx = int (x)/(2) dx

De onde vem cada valor: x2/2x^{2}/2 = passo 3 · 1/x1/x = passo 3

int fracx^22·(1)/(x) dx = int (x)/(2) dx
NÃO CAIA NESSA!

Não cancelar o x, deixando a integral mais complicada do que precisa.

Passo 5 — Integrar a expressão simplificada

Agora temos uma integral simples de uma potência, que pode ser resolvida diretamente: ∫(x/2) dx = x²/4 + C.

Por que esta fórmula: A integral de x^n é x^(n+1)/(n+1), então ∫(x/2) dx = (1/2)·(x²/2) = x²/4.

int (x)/(2) dx = fracx^24 + C

De onde vem cada valor: x/2x/2 = passo 4

int (x)/(2) dx = fracx^24 = x^2/4 + C
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer a constante de integração na integral indefinida.

Passo 6 — Montar a primitiva completa

Com a integral resolvida, juntamos as partes para obter a primitiva da função original: F(x) = (x² ln(x))/2 - x²/4 + C.

Por que esta fórmula: A primitiva é a soma do termo uv com o negativo da integral de v du.

F(x) = (x^2ln(x))/(2) - fracx^24 + C

De onde vem cada valor: x2ln(x)/2x^{2} ln(x)/2 = passo 3: uv · x2/4x^{2}/4 = passo 5: ∫v du

F(x) = (x^2ln(x))/(2) - fracx^24
F(x)=(x2ln(x))/2−x2/4+CF(x) = \boxed{(\text{x}^{2} \text{ln}(\text{x}))/2 - \text{x}^{2}/4 + \text{C}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer o sinal de menos entre os termos.

Passo 7 — Avaliar nos limites de integração

Para uma integral definida, usamos o Teorema Fundamental do Cálculo: calculamos F(e) - F(1). Isso nos dá o valor numérico da área sob a curva.

Por que esta fórmula: O Teorema Fundamental do Cálculo conecta a antiderivada com a integral definida.

c=F(e)−F(1)c = F(e) - F(1)

De onde vem cada valor: FF = passo 6 · ee = enunciado: limite superior · 11 = enunciado: limite inferior

c = ((e^2ln(e))/(2) - frace^24) - ((1^2ln(1))/(2) - frac1^24)
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de subtrair F(1) ou errar o sinal ao fazer a subtração.

Passo 8 — Calcular F(e) e F(1)

Substituímos x = e e x = 1 na primitiva. Como ln(e) = 1 e ln(1) = 0, os cálculos simplificam bastante.

Por que esta fórmula: As propriedades do logaritmo natural: ln(e) = 1 e ln(1) = 0.

F(e) = frace^22 - frace^24 = frace^24, quad F(1) = 0 - (1)/(4) = -(1)/(4)

De onde vem cada valor: e2/2e^{2}/2 = passo 7: substituindo x = e · e2/4e^{2}/4 = passo 7: substituindo x = e · 1/41/4 = passo 7: substituindo x = 1

F(e) = frace^22 - frace^24 = frace^24, quad F(1) = 0 - (1)/(4) = -(1)/(4)

F(e) = e²/4, F(1) = -1/4

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer que ln(e) = 1 e ln(1) = 0, levando a valores errados.

Passo 9 — Subtrair os valores

Agora subtraímos F(1) de F(e) para obter o valor da integral definida.

Por que esta fórmula: A integral definida é a diferença entre os valores da primitiva nos limites.

c = frace^24 - (-(1)/(4)) = frace^24 + (1)/(4) = (e^2 + 1)/(4)

De onde vem cada valor: e2/4e^{2}/4 = passo 8: F(e) · −1/4-1/4 = passo 8: F(1)

c = frace^24 - (-(1)/(4)) = frace^24 + (1)/(4) = (e^2 + 1)/(4) = (e^2 + 1)/4
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer o sinal de menos antes de F(1), resultando em e²/4 - 1/4.

Resposta: c = (e² + 1)/4. Nenhuma das alternativas corresponde exatamente; a alternativa D (e²/4) seria o resultado se o limite inferior fosse 0. Portanto, há um erro no enunciado ou nas opções.

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