GabaritoC — 19/3
Gabarito: letra C — a conta chega a 19/3 (alternativa C).
A área entre duas curvas é a integral do módulo da diferença das funções. O módulo garante que a área seja sempre positiva, mesmo quando uma função está abaixo da outra. Para calcular, subtraímos as funções, identificamos onde a diferença muda de sinal no intervalo e integramos o módulo em cada subintervalo, somando os resultados. Nesta questão, a diferença f(x) − g(x) = x² − 5x + 4 tem raízes em x = 1 e x = 4, então o módulo exige separar a integral em (0, 1) e (1, 4).
f(x) = x² − 3x + 2
g(x) = 2x − 2
intervalo (0, 4)
O que queremos: a área de |f(x) − g(x)| no intervalo (0, 4)
A área entre duas curvas é a integral do módulo da diferença. Para começar, precisamos da expressão da diferença f(x) − g(x), que será integrada.
Por que esta fórmula: A diferença entre as funções é a base para calcular a área entre elas: a área é a integral de |f − g|.
De onde vem cada valor: = enunciado: f(x) = x² − 3x + 2 · = enunciado: g(x) = 2x − 2
Esquecer de distribuir o sinal de menos: (x² − 3x + 2) − (2x − 2) = x² − 3x + 2 − 2x + 2 = x² − 5x + 4.
As raízes da diferença são os pontos onde as curvas se cruzam, ou seja, onde f(x) = g(x). Nesses pontos, a diferença muda de sinal, e o módulo exige separar a integral em partes.
Por que esta fórmula: Para achar onde a diferença é zero, igualamos a expressão a zero e resolvemos a equação do segundo grau.
De onde vem cada valor: = passo 1: resultado da subtração
x = 1 ou x = 4
Errar a fatoração: (x−1)(x−4) = x² − 5x + 4, confira os sinais.
O módulo |f − g| é igual a f − g quando a diferença é positiva, e igual a −(f − g) quando é negativa. Precisamos saber em quais intervalos a diferença é positiva ou negativa para escrever a integral corretamente.
Por que esta fórmula: Testamos um valor em cada intervalo determinado pelas raízes para ver o sinal da expressão.
Em (0,1): positiva; em (1,4): negativa
Escolher um ponto de teste errado, como x = 4, que é raiz e dá zero.
Com o sinal conhecido, podemos escrever a integral do módulo como a soma de duas integrais: uma onde a diferença é positiva (usamos f − g) e outra onde é negativa (usamos −(f − g)).
Por que esta fórmula: A definição de módulo: |u| = u se u ≥ 0, e |u| = −u se u < 0. Aplicamos isso à diferença.
De onde vem cada valor: = passo 1: diferença f − g · = passo 3: sinal da diferença
Esquecer de colocar o sinal de menos na segunda integral, o que daria área negativa.
A primeira integral cobre o intervalo (0,1), onde a diferença é positiva. Precisamos calcular a área dessa parte.
Por que esta fórmula: Integramos o polinômio termo a termo: a integral de x^n é x^(n+1)/(n+1).
De onde vem cada valor: = passo 1: diferença f − g · = passo 3: intervalo onde a diferença é positiva
Errar ao substituir os limites: lembre-se de subtrair o valor em 0 do valor em 1.
A segunda integral cobre o intervalo (1,4), onde a diferença é negativa, então integramos o oposto da diferença. Precisamos calcular essa área.
Por que esta fórmula: Integramos o polinômio −x² + 5x − 4 termo a termo, usando a mesma regra de potência.
De onde vem cada valor: = passo 4: oposto da diferença · = passo 3: intervalo onde a diferença é negativa
Errar os sinais ao substituir os limites, especialmente o sinal de menos antes da fração.
A área total é a soma das áreas de cada parte, pois o módulo divide a região em duas partes que não se sobrepõem.
Por que esta fórmula: A área total é a soma das integrais calculadas nos passos 5 e 6.
De onde vem cada valor: = passo 5: primeira integral · = passo 6: segunda integral
Errar a soma de frações: lembre-se de igualar os denominadores.
Resposta: 19/3 (alternativa C)
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