Matemática · FUNDATEC · 2023 | Questão sqc-qq894845

Probabilidade: eventos certos, impossíveis e condicionamento

Gabarito: letra E — as três assertivas são verdadeiras. A chave está em interpretar $P(A)=1$ (evento certo) e $P(C)=0$ (evento impossível): a interseção de um evento certo com qualquer outro tem a probabilidade deste último, e a interseção com um evento impossível tem probabilidade zero. Isso torna a independência trivial e a condicional bem definida.

Vamos entender o raciocínio por trás de cada assertiva, pois a banca explora exatamente a confusão entre "evento certo" e "evento que contém todos os resultados possíveis".

O que significa $P(A)=1$ e $P(C)=0$ ?

Em probabilidade, um evento com probabilidade 1 é chamado de evento certo: ele ocorre com certeza absoluta, ou seja, $A = \Omega$ (o espaço amostral). Já um evento com probabilidade 0 é o evento impossível: $C = \emptyset$ (conjunto vazio). Essas definições vêm da teoria axiomática de Kolmogorov, que estabelece que a probabilidade do espaço amostral é 1 e a do conjunto vazio é 0.

Essa interpretação é crucial: se $A$ é o espaço amostral inteiro, então a interseção $A \cap B$ é simplesmente $B$ , pois todos os elementos de $B$ já estão em $A$ . Analogamente, $B \cap C = \emptyset$ , pois $C$ não contém nenhum elemento.

Análise das assertivas

Eventos certos, impossíveis e condicionamento — só Evento A: 1; só Evento B: 0,5; só Evento C: 0; Evento A∩Evento B: 0,5; Evento A∩Evento C: 0; Evento B∩Evento C: 0; Evento A∩Evento B∩Evento C: 0

Item I — ✅ Correto

Como $A = \Omega$ , temos $A \cap B = B$ . Portanto, $P(A \cap B) = P(B) = 0{,}5$ . A assertiva está correta.

Item II — ✅ Correto

$P(B \cap C) = P(\emptyset) = 0$ . Por outro lado, $P(B) \cdot P(C) = 0{,}5 \times 0 = 0$ . Logo, a igualdade $P(B \cap C) = P(B)P(C)$ é verdadeira. Isso significa que $B$ e $C$ são independentes — e de fato, qualquer evento é independente de um evento impossível, pois a ocorrência de $C$ é impossível e não afeta a de $B$ .

Item III — ✅ Correto

A probabilidade condicional é definida por $P(C|B) = \frac{P(C \cap B)}{P(B)}$ , desde que $P(B) > 0$ . Como $P(B) = 0{,}5 > 0$ , podemos aplicar a fórmula: $P(C|B) = \frac{0}{0{,}5} = 0$ . A assertiva está correta.

Conclusão

Todas as três assertivas são verdadeiras, portanto a alternativa correta é a letra E.

NÃO CAIA NESSA!

A banca tenta fazer o candidato achar que $P(A \cap B)$ não pode ser determinado sem saber a relação entre $A$ e $B$ . Mas, como $P(A)=1$ , o evento $A$ é o espaço amostral inteiro, e a interseção com $B$ é o próprio $B$ . Outra armadilha é achar que $P(C|B)$ seria indefinida, mas como $P(B)>0$ , ela é perfeitamente calculável e vale 0. Fique atento: evento com probabilidade 1 é certo, evento com probabilidade 0 é impossível — isso resolve tudo!

Gabarito: letra E