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Questão de Matemática — Probabilidade — FUNDATEC 2023

MatemáticaProbabilidade
Código
qq894846
Banca
FUNDATEC
Órgão
IF-SC
Ano
2023
Nível
Superior
Cargo
Professor EBTT - Matemática
Uma assistência técnica atende três marcas de celulares, A, B e C. Dos aparelhos de celular recebidos para conserto, 50% são da marca A, 40% da marca B e o restante, da marca C. O problema mais comum apresentado por esses aparelhos são os relacionados à câmera. Do total de aparelhos recebidos da marca A, 28% apresentam problemas com a câmera. Para a marca B, o problema é apresentado por 25% dos aparelhos que chegam à assistência, enquanto 60% dos aparelhos da marca C chegam à assistência com problemas na câmera. Considerando um aparelho de celular que chega à assistência com problemas na câmera, qual é a probabilidade de ser um aparelho da marca C?
  1. A60%.
  2. B20%.
  3. C12,5%.
  4. D6%.
  5. ENenhuma das alternativas anteriores.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoB — 20%.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra B — a conta chega a 20% (alternativa B).

A ideia por trás

A probabilidade condicional mede a chance de um evento ocorrer dado que outro já ocorreu. No mundo real, ela responde perguntas como: 'sabendo que o aparelho tem problema na câmera, qual a chance de ser da marca C?'. O Teorema de Bayes é a ferramenta para inverter uma condição: quando conhecemos P(problema|marca) e queremos P(marca|problema), ele combina essas informações com a proporção de cada marca no total. A fórmula envolve o produto da probabilidade da marca pela probabilidade do problema dentro dela, dividido pela soma desses produtos para todas as marcas — essa soma é a probabilidade total do problema. Nesta questão, temos as probabilidades de cada marca e as probabilidades de problema dentro de cada marca, e precisamos inverter a condição para achar a probabilidade de ser da marca C dado que há problema.

O que a questão dá

  • P(A) = 50% = 0,50

  • P(B) = 40% = 0,40

  • P(C) = 10% = 0,10

  • P(Problema|A) = 28% = 0,28

  • P(Problema|B) = 25% = 0,25

  • P(Problema|C) = 60% = 0,60

O que queremos: a probabilidade de um aparelho com problema na câmera ser da marca C, ou seja, P(C|Problema)

Passo 1 — Calcular a probabilidade total de problema

Para usar o Teorema de Bayes, precisamos do denominador: a probabilidade de qualquer aparelho ter problema na câmera, independentemente da marca. Isso é a soma das contribuições de cada marca, ponderadas pela proporção de cada uma.

Por que esta fórmula: A probabilidade total é a soma de P(Problema|Marca) × P(Marca) para todas as marcas, porque cada aparelho pertence a exatamente uma marca e os eventos são mutuamente exclusivos.

P(Problema)=P(Problema∣A)⋅P(A)+P(Problema∣B)⋅P(B)+P(Problema∣C)⋅P(C)P(Problema) = P(Problema|A) \cdot P(A) + P(Problema|B) \cdot P(B) + P(Problema|C) \cdot P(C)

De onde vem cada valor: P(Problema∣A)P(Problema|A) = enunciado: 28% = 0,28 · P(A)P(A) = enunciado: 50% = 0,50 · P(Problema∣B)P(Problema|B) = enunciado: 25% = 0,25 · P(B)P(B) = enunciado: 40% = 0,40 · P(Problema∣C)P(Problema|C) = enunciado: 60% = 0,60 · P(C)P(C) = enunciado: 10% = 0,10

P(Problema)=0,28⋅0,50+0,25⋅0,40+0,60⋅0,10=0,30 (30%)P(Problema) = 0{,}28 \cdot 0{,}50 + 0{,}25 \cdot 0{,}40 + 0{,}60 \cdot 0{,}10 = \boxed{0{,}30\ (30\%)}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de multiplicar cada probabilidade de problema pela proporção da marca, somando apenas 0,28 + 0,25 + 0,60 = 1,13, o que daria mais de 100%.

Passo 2 — Calcular a contribuição da marca C para o problema

O numerador do Teorema de Bayes para a marca C é a probabilidade conjunta de ser da marca C e ter problema na câmera. Isso é o produto da proporção da marca C pela probabilidade de problema dentro dela.

Por que esta fórmula: A probabilidade de dois eventos simultâneos (ser da marca C e ter problema) é o produto das probabilidades, pois a probabilidade de problema depende da marca.

P(C∩Problema)=P(Problema∣C)⋅P(C)P(C \cap Problema) = P(Problema|C) \cdot P(C)

De onde vem cada valor: P(Problema∣C)P(Problema|C) = enunciado: 60% = 0,60 · P(C)P(C) = enunciado: 10% = 0,10

P(C∩Problema)=0,60⋅0,10=0,06 (6%)P(C \cap Problema) = 0{,}60 \cdot 0{,}10 = \boxed{0{,}06\ (6\%)}
NÃO CAIA NESSA!

Confundir P(C ∩ Problema) com P(Problema|C) e usar 0,60 diretamente no numerador.

Passo 3 — Aplicar o Teorema de Bayes para a marca C

Agora temos o numerador (probabilidade conjunta de C e problema) e o denominador (probabilidade total de problema). O Teorema de Bayes divide um pelo outro para obter a probabilidade condicional pedida.

Por que esta fórmula: O Teorema de Bayes é a fórmula que inverte a condição: P(C|Problema) = P(C ∩ Problema) / P(Problema). É exatamente o que a questão pede.

P(C∣Problema)=P(C∩Problema)P(Problema)P(C|Problema) = \frac{P(C \cap Problema)}{P(Problema)}

De onde vem cada valor: P(C∩Problema)P(C \cap Problema) = passo 2: 0,06 · P(Problema)P(Problema) = passo 1: 0,30

P(C∣Problema)=0,060,30=0,20 (20%)P(C|Problema) = \frac{0{,}06}{0{,}30} = \boxed{0{,}20\ (20\%)}
NÃO CAIA NESSA!

Inverter a fração, calculando 0,30/0,06 = 5, o que não faz sentido como probabilidade.

Resposta: 20% (alternativa B)

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