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Questão de Matemática — Polinômios — FUNDATEC 2023

MatemáticaPolinômios
Código
qq894848
Banca
FUNDATEC
Órgão
IF-SC
Ano
2023
Nível
Superior
Cargo
Professor EBTT - Matemática
Divisão do polinômio p(x) = 3x⁴ − 2x²+ k pelo polinômio q(x) = x² + k resulta resto 6k. Então, assinale a alternativa que apresenta o(s) possível(is) valor(es) de k.
  1. A0.
  2. B2.
  3. C0 e 1.
  4. D1 e 2.
  5. E0, 1 e 2.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoC — 0 e 1.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra C — a conta chega a k = 0 ou k = 1, alternativa C..

A ideia por trás

A divisão de polinômios é análoga à divisão de números: dado um dividendo p(x) e um divisor q(x), existem um quociente Q(x) e um resto R(x) tais que p(x) = q(x)·Q(x) + R(x), com o grau de R(x) menor que o grau de q(x). O resto é o que sobra quando não é mais possível dividir, e ele tem grau menor que o divisor. Nesta questão, o divisor tem grau 2, então o resto deve ter grau no máximo 1; como o enunciado diz que o resto é 6k (uma constante), isso já indica que os termos com x devem se cancelar durante a divisão. Para encontrar k, efetuamos a divisão, igualamos o resto obtido a 6k e resolvemos a equação resultante.

O que a questão dá

  • p(x) = 3x⁴ − 2x² + k

  • q(x) = x² + k

  • resto = 6k

O que queremos: os possíveis valores de k

Passo 1 — Dividir o termo de maior grau

Para começar a divisão de polinômios, dividimos o termo de maior grau do dividendo pelo termo de maior grau do divisor, assim como na divisão de números começamos pelo dígito mais à esquerda. Isso determina o primeiro termo do quociente.

Por que esta fórmula: O primeiro termo do quociente é obtido dividindo o termo de maior grau de p(x) pelo termo de maior grau de q(x): 3x⁴ ÷ x² = 3x².

3x4÷x2=3x23x^{4} \div x^{2} = 3x^{2}

De onde vem cada valor: 3x43x^{4} = enunciado: p(x) = 3x⁴ − 2x² + k · x2x^{2} = enunciado: q(x) = x² + k

3x4÷x2=3x2=3 x23x^{4} \div x^{2} = 3x^{2} = \boxed{3\ \text{x}^{2}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de dividir os coeficientes corretamente, por exemplo, pensar que 3x⁴ ÷ x² = 3x² (correto) mas errar na potência.

Passo 2 — Multiplicar o divisor pelo quociente parcial

Depois de encontrar o primeiro termo do quociente, multiplicamos o divisor inteiro por ele para subtrair do dividendo, eliminando o termo de maior grau e avançando na divisão.

Por que esta fórmula: Multiplicamos q(x) = x² + k por 3x², distribuindo: 3x²·x² = 3x⁴ e 3x²·k = 3kx².

3x2⋅(x2+k)=3x4+3kx23x^{2} \cdot (x^{2} + k) = 3x^{4} + 3kx^{2}

De onde vem cada valor: 3x23x^{2} = passo 1 · x2+kx^{2} + k = enunciado: q(x) = x² + k

3x2⋅(x2+k)=3x4+3kx2=3 x4+3kx23x^{2} \cdot (x^{2} + k) = 3x^{4} + 3kx^{2} = \boxed{3\ \text{x}^{4} + 3\text{kx}^{2}}
NÃO CAIA NESSA!

Errar a distributiva, por exemplo, esquecer de multiplicar o k.

Passo 3 — Subtrair do dividendo

Subtraímos o produto obtido do dividendo original para eliminar o termo de maior grau e obter o novo dividendo parcial, como na divisão longa de números.

Por que esta fórmula: Subtraímos termo a termo: (3x⁴ − 2x² + k) − (3x⁴ + 3kx²) = (3x⁴ − 3x⁴) + (−2x² − 3kx²) + k = (−2 − 3k)x² + k.

(3x4−2x2+k)−(3x4+3kx2)=(−2−3k)x2+k(3x^{4} - 2x^{2} + k) - (3x^{4} + 3kx^{2}) = (-2 - 3k)x^{2} + k

De onde vem cada valor: 3x4−2x2+k3x^{4} - 2x^{2} + k = enunciado: p(x) · 3x4+3kx23x^{4} + 3kx^{2} = passo 2

(3x4−2x2+k)−(3x4+3kx2)=(−2−3k)x2+k=(−2−3k)x2+k(3x^{4} - 2x^{2} + k) - (3x^{4} + 3kx^{2}) = (-2 - 3k)x^{2} + k = \boxed{(-2 - 3\text{k})\text{x}^{2} + \text{k}}
NÃO CAIA NESSA!

Errar o sinal ao subtrair, especialmente com o termo 3kx².

Passo 4 — Dividir o novo termo de maior grau

Continuamos a divisão com o novo dividendo parcial, repetindo o processo: dividimos o termo de maior grau do resto parcial pelo termo de maior grau do divisor.

Por que esta fórmula: O termo de maior grau do resto parcial é (−2 − 3k)x²; dividindo por x² obtemos (−2 − 3k), que será o próximo termo do quociente.

(−2−3k)x2÷x2=−2−3k(-2 - 3k)x^{2} \div x^{2} = -2 - 3k

De onde vem cada valor: (−2−3k)x2(-2 - 3k)x^{2} = passo 3 · x2x^{2} = enunciado: q(x)

(−2−3k)x2÷x2=−2−3k=−2 −3k(-2 - 3k)x^{2} \div x^{2} = -2 - 3k = \boxed{-2\ - 3\text{k}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de incluir o coeficiente −2 − 3k corretamente.

Passo 5 — Multiplicar o divisor pelo novo termo

Multiplicamos o divisor pelo novo termo do quociente para subtrair novamente e continuar a divisão.

Por que esta fórmula: Multiplicamos q(x) = x² + k por (−2 − 3k): (−2 − 3k)·x² = (−2 − 3k)x² e (−2 − 3k)·k = (−2 − 3k)k.

(−2−3k)⋅(x2+k)=(−2−3k)x2+(−2−3k)k(-2 - 3k) \cdot (x^{2} + k) = (-2 - 3k)x^{2} + (-2 - 3k)k

De onde vem cada valor: −2−3k-2 - 3k = passo 4 · x2+kx^{2} + k = enunciado: q(x)

(−2−3k)⋅(x2+k)=(−2−3k)x2+(−2−3k)k=(−2−3k)x2+(−2−3k)k(-2 - 3k) \cdot (x^{2} + k) = (-2 - 3k)x^{2} + (-2 - 3k)k = \boxed{(-2 - 3\text{k})\text{x}^{2} + (-2 - 3\text{k})\text{k}}
NÃO CAIA NESSA!

Errar a distributiva, especialmente o sinal de (−2 − 3k)k.

Passo 6 — Subtrair para obter o resto

Subtraímos o produto do passo anterior do dividendo parcial para obter o resto final da divisão. Como o divisor tem grau 2, o resto deve ter grau menor que 2; aqui esperamos uma constante.

Por que esta fórmula: Subtraímos: [(−2 − 3k)x² + k] − [(−2 − 3k)x² + (−2 − 3k)k] = k − (−2 − 3k)k = k + (2 + 3k)k = k + 2k + 3k² = 3k² + 3k.

[(−2−3k)x2+k]−[(−2−3k)x2+(−2−3k)k]=3k2+3k[(-2 - 3k)x^{2} + k] - [(-2 - 3k)x^{2} + (-2 - 3k)k] = 3k^{2} + 3k

De onde vem cada valor: (−2−3k)x2+k(-2 - 3k)x^{2} + k = passo 3 · (−2−3k)x2+(−2−3k)k(-2 - 3k)x^{2} + (-2 - 3k)k = passo 5

[(−2−3k)x2+k]−[(−2−3k)x2+(−2−3k)k]=3k2+3k=3 k2+3k[(-2 - 3k)x^{2} + k] - [(-2 - 3k)x^{2} + (-2 - 3k)k] = 3k^{2} + 3k = \boxed{3\ \text{k}^{2} + 3\text{k}}
NÃO CAIA NESSA!

Errar a simplificação de k − (−2 − 3k)k, especialmente o sinal.

Passo 7 — Igualar o resto a 6k

O enunciado afirma que o resto da divisão é 6k. Como encontramos o resto em função de k, igualamos os dois para obter uma equação que determina k.

Por que esta fórmula: O resto obtido é 3k² + 3k; igualando a 6k, temos 3k² + 3k = 6k.

3k2+3k=6k3k^{2} + 3k = 6k

De onde vem cada valor: 3k2+3k3k^{2} + 3k = passo 6 · 6k6k = enunciado: resto = 6k

3k2+3k=6k3k^{2} + 3k = 6k
3k2+3k=6 k3k^{2} + 3k = \boxed{6\ \text{k}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de igualar o resto ao valor dado, ou igualar a zero diretamente sem considerar o 6k.

Passo 8 — Resolver a equação em k

Precisamos encontrar os valores de k que satisfazem a equação. Vamos resolver algebricamente, fatorando para não perder soluções.

Por que esta fórmula: Trazemos tudo para um lado: 3k² + 3k − 6k = 0 → 3k² − 3k = 0 → 3k(k − 1) = 0. Pela propriedade do produto nulo, 3k = 0 ou k − 1 = 0, logo k = 0 ou k = 1.

3k2−3k=0⇒3k(k−1)=03k^{2} - 3k = 0 \Rightarrow 3k(k - 1) = 0

De onde vem cada valor: 3k2−3k3k^{2} - 3k = passo 7: 3k² + 3k = 6k, subtraindo 6k

3k2−3k=0⇒3k(k−1)=03k^{2} - 3k = 0 \Rightarrow 3k(k - 1) = 0

k = 0 ou k = 1

NÃO CAIA NESSA!

Dividir ambos os lados por 3k, perdendo a solução k = 0. Sempre fatore.

Resposta: k = 0 ou k = 1, alternativa C.

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