Questão de Matemática — Derivada — FUNDATEC 2023

Derivada, composição de funções e equação logarítmica

Gabarito: letra A — apenas a assertiva I está correta. A derivada de $f(x) = [\ln(e^{-1/2}x)]^2$ é $f'(x) = \frac{2\ln(e^{-1/2}x)}{x}$, que é estritamente positiva para $x > \sqrt{e}$; a assertiva II erra a reescrita da função (a composição proposta não reproduz $f$), e a assertiva III erra a solução da equação $f(x) = 9/4$ (a solução correta é $x = e^4$, não $e^2$).

Vamos entender cada ponto. A função dada é $f(x) = [\ln(e^{-1/2}x)]^2$, definida para $x > 0$ (pois o logaritmo exige argumento positivo). Para analisar as assertivas, precisamos de três ferramentas: a regra da cadeia para derivar, a definição de composição de funções e a resolução de equações logarítmicas.

Derivada e sinal: usando a regra da cadeia, com $u = \ln(e^{-1/2}x)$, temos $u' = \frac{1}{e^{-1/2}x} \cdot e^{-1/2} = \frac{1}{x}$. Assim, $f'(x) = 2u \cdot u' = \frac{2\ln(e^{-1/2}x)}{x}$. O sinal de $f'$ depende do sinal de $\ln(e^{-1/2}x)$ (o denominador $x$ é positivo). Temos $\ln(e^{-1/2}x) > 0 \iff e^{-1/2}x > 1 \iff x > e^{1/2} = \sqrt{e}$. Portanto, $f'(x) > 0$ exatamente para $x > \sqrt{e}$, o que confirma a assertiva I.

Composição de funções: a assertiva II propõe $f(x) = (\ell \circ h)(x) + h(x) + 1/4$, com $h(x) = \ln x$ e $\ell(x) = x^2$. Calculando: $(\ell \circ h)(x) = \ell(h(x)) = (\ln x)^2$. Então a expressão proposta vale $(\ln x)^2 + \ln x + 1/4$, que não é igual a $[\ln(e^{-1/2}x)]^2$. De fato, $\ln(e^{-1/2}x) = \ln x - 1/2$, logo $f(x) = (\ln x - 1/2)^2 = (\ln x)^2 - \ln x + 1/4$. A proposta tem sinal trocado no termo $\ln x$ (deveria ser $-\ln x$, não $+\ln x$). Portanto, a assertiva II é falsa.

Equação logarítmica: a assertiva III afirma que $f(x) = 9/4$ tem solução única $x = e^2$. Resolvendo: $[\ln(e^{-1/2}x)]^2 = 9/4 \implies \ln(e^{-1/2}x) = \pm 3/2$. Isso gera duas equações: $\ln(e^{-1/2}x) = 3/2 \implies e^{-1/2}x = e^{3/2} \implies x = e^2$; e $\ln(e^{-1/2}x) = -3/2 \implies e^{-1/2}x = e^{-3/2} \implies x = e^{-1}$. Portanto, há duas soluções: $x = e^2$ e $x = e^{-1}$. A assertiva III afirma que há uma única solução $x = e^2$, o que é falso (existe também $x = e^{-1}$).

Assertiva I — ✅ Correta

A função é diferenciável em todo o domínio $(0, \infty)$, pois é composição de funções diferenciáveis (logaritmo e potência). A derivada calculada é $f'(x) = \frac{2\ln(e^{-1/2}x)}{x}$. Para $x > \sqrt{e}$, temos $\ln(e^{-1/2}x) > 0$, logo $f'(x) > 0$. Portanto, a derivada é estritamente positiva em $(\sqrt{e}, \infty)$. ✅

Assertiva II — ❌ Incorreta

A reescrita proposta está errada. Calculando a composição: $(\ell \circ h)(x) = (\ln x)^2$, então a expressão dada vale $(\ln x)^2 + \ln x + 1/4$. Mas $f(x) = (\ln x - 1/2)^2 = (\ln x)^2 - \ln x + 1/4$. O sinal do termo $\ln x$ está trocado: na proposta é $+\ln x$, no correto é $-\ln x$. Portanto, a igualdade não se verifica. ❌

Assertiva III — ❌ Incorreta

A equação $f(x) = 9/4$ tem duas soluções, não uma única. Resolvendo: $[\ln(e^{-1/2}x)]^2 = 9/4 \implies \ln(e^{-1/2}x) = \pm 3/2$. Isso dá $x = e^2$ (para o sinal positivo) e $x = e^{-1}$ (para o sinal negativo). A assertiva afirma que a solução é única e igual a $e^2$, o que é falso, pois $x = e^{-1}$ também satisfaz. ❌

Conclusão: apenas a assertiva I está correta. Portanto, a alternativa correta é a letra A.

Gabarito: letra A