Questão de Matemática — Geometria Analítica — FUNDATEC 2023

Geometria Analítica: Interseção de Circunferências

Gabarito: letra B. A reta que passa pelos pontos de interseção das duas circunferências é a reta radical, obtida subtraindo as equações das circunferências. Ao fazer essa subtração, os termos quadráticos se cancelam, resultando em uma equação linear que representa a reta procurada: $y = 2x - 1$.

Para resolver, escrevemos as equações das circunferências na forma geral:

• Circunferência 1: centro $(0, 2)$ e raio $\sqrt{3}$ → $(x-0)^2 + (y-2)^2 = (\sqrt{3})^2$ → $x^2 + y^2 - 4y + 4 = 3$ → $x^2 + y^2 - 4y + 1 = 0$.

• Circunferência 2: centro $(2, 1)$ e raio $\sqrt{2}$ → $(x-2)^2 + (y-1)^2 = (\sqrt{2})^2$ → $x^2 - 4x + 4 + y^2 - 2y + 1 = 2$ → $x^2 + y^2 - 4x - 2y + 3 = 0$.

Subtraindo a segunda equação da primeira (ou vice-versa), os termos $x^2$ e $y^2$ se cancelam:

$(x^2 + y^2 - 4y + 1) - (x^2 + y^2 - 4x - 2y + 3) = 0$ → $4x - 2y - 2 = 0$ → $2x - y - 1 = 0$ → $y = 2x - 1$.

Essa é a equação da reta que contém todos os pontos comuns às duas circunferências. A banca explora a técnica de subtração das equações para eliminar os termos quadráticos, transformando o problema de interseção de curvas em um problema de reta.

Alternativa A — ❌ Incorreta

A equação $y = -2x - 1$ tem coeficiente angular negativo, o que indicaria uma reta decrescente. No entanto, a subtração correta das equações resulta em coeficiente angular positivo ($2$). O sinal do coeficiente foi invertido, provavelmente por erro ao subtrair os termos lineares.

Alternativa B — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como demonstrado, a subtração das equações das circunferências resulta em $2x - y - 1 = 0$, que é equivalente a $y = 2x - 1$. Esta é a equação da reta radical, que passa pelos pontos de interseção das duas circunferências.

Alternativa C — ❌ Incorreta

A equação $y = x - 2$ tem coeficiente angular $1$ e intercepto $-2$. Isso não corresponde ao resultado da subtração, que é $y = 2x - 1$. O coeficiente angular e o termo independente estão ambos incorretos.

Alternativa D — ❌ Incorreta

A equação $y = -x - 2$ tem coeficiente angular negativo e intercepto $-2$. Novamente, não corresponde ao resultado correto. O sinal do coeficiente angular e o termo independente estão errados.

Alternativa E — ❌ Incorreta

As duas circunferências se intersectam. Para verificar, calculamos a distância entre os centros: $d = \sqrt{(2-0)^2 + (1-2)^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5} \approx 2.236$. A soma dos raios é $\sqrt{3} + \sqrt{2} \approx 1.732 + 1.414 = 3.146$, e a diferença dos raios é $\sqrt{3} - \sqrt{2} \approx 0.318$. Como $0.318 < 2.236 < 3.146$, a distância entre os centros está entre a diferença e a soma dos raios, o que caracteriza circunferências secantes (dois pontos de interseção). Portanto, a alternativa que afirma que não se intersectam é falsa.

Gabarito: letra B.