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Questão de Matemática — Geometria Analítica — FUNDATEC 2023

MatemáticaGeometria Analítica
Código
qq894857
Banca
FUNDATEC
Órgão
IF-SC
Ano
2023
Nível
Superior
Cargo
Professor EBTT - Matemática
Seja y = m₀x+ c a reta que passa pelos pontos P = (2, 4) e Q = (−1, −2) no plano e seja O = (0,0). Ao segmento de reta OP é aplicada uma rotação de 30° (sentido anti-horário) transformando o ponto P no ponto P'. Seja y = m₁x + d a reta que passa pelos pontos P' e Q, então a razão m₀/m₁ é igual a:
  1. A1/2
  2. B2
  3. C9+5√3 / 4
  4. D6 − 10/3 √3
  5. E2√3 /3
Revelar gabarito e comentário

GabaritoD — 6 − 10/3 √3

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Geometria Analítica: rotação de ponto e coeficiente angular

Gabarito: letra D. A razão m0/m1m_0/m_1 vale 6−10336 - \frac{10}{3}\sqrt{3}. O caminho é: calcular o coeficiente angular m0m_0 da reta que passa por P e Q, aplicar a rotação de 30° no ponto P para obter P', calcular o coeficiente angular m1m_1 da reta que passa por P' e Q, e então dividir m0m_0 por m1m_1. A resolução exige dominar a fórmula do coeficiente angular e a matriz de rotação no plano.

O coeficiente angular de uma reta que passa por dois pontos (x1,y1)(x_1, y_1) e (x2,y2)(x_2, y_2) é dado por m=y2−y1x2−x1m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}. Para a reta y=m0x+cy = m_0 x + c que passa por P=(2,4)P = (2, 4) e Q=(−1,−2)Q = (-1, -2), temos:

m0=4−(−2)2−(−1)=63=2.m_0 = \frac{4 - (-2)}{2 - (-1)} = \frac{6}{3} = 2.

A rotação de um ponto (x,y)(x, y) por um ângulo θ\theta no sentido anti-horário em torno da origem é dada por:

{x′=xcos⁡θ−ysin⁡θy′=xsin⁡θ+ycos⁡θ\begin{cases} x' = x \cos\theta - y \sin\theta \\ y' = x \sin\theta + y \cos\theta \end{cases}

Para θ=30°\theta = 30°, temos cos⁡30°=32\cos 30° = \frac{\sqrt{3}}{2} e sin⁡30°=12\sin 30° = \frac{1}{2}. Aplicando ao ponto P=(2,4)P = (2, 4):

x′=2⋅32−4⋅12=3−2,x' = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - 4 \cdot \frac{1}{2} = \sqrt{3} - 2,
y′=2⋅12+4⋅32=1+23.y' = 2 \cdot \frac{1}{2} + 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 1 + 2\sqrt{3}.

Portanto, P′=(3−2, 1+23)P' = (\sqrt{3} - 2, \, 1 + 2\sqrt{3}).

Agora, o coeficiente angular m1m_1 da reta que passa por P′P' e Q=(−1,−2)Q = (-1, -2):

m1=(1+23)−(−2)(3−2)−(−1)=3+233−1.m_1 = \frac{(1 + 2\sqrt{3}) - (-2)}{(\sqrt{3} - 2) - (-1)} = \frac{3 + 2\sqrt{3}}{\sqrt{3} - 1}.

Racionalizando o denominador:

m1=3+233−1⋅3+13+1=(3+23)(3+1)3−1=33+3+6+232=9+532.m_1 = \frac{3 + 2\sqrt{3}}{\sqrt{3} - 1} \cdot \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} + 1} = \frac{(3 + 2\sqrt{3})(\sqrt{3} + 1)}{3 - 1} = \frac{3\sqrt{3} + 3 + 6 + 2\sqrt{3}}{2} = \frac{9 + 5\sqrt{3}}{2}.

Finalmente, a razão pedida:

m0m1=29+532=49+53.\frac{m_0}{m_1} = \frac{2}{\frac{9 + 5\sqrt{3}}{2}} = \frac{4}{9 + 5\sqrt{3}}.

Racionalizando:

49+53⋅9−539−53=4(9−53)81−75=36−2036=6−1033.\frac{4}{9 + 5\sqrt{3}} \cdot \frac{9 - 5\sqrt{3}}{9 - 5\sqrt{3}} = \frac{4(9 - 5\sqrt{3})}{81 - 75} = \frac{36 - 20\sqrt{3}}{6} = 6 - \frac{10}{3}\sqrt{3}.

Que corresponde exatamente à alternativa D.

  1. 1Calcular m₀ (coeficiente de PQ)
  2. 2Rotacionar P em 30° → P'
  3. 3Calcular m₁ (coeficiente de P'Q)
  4. 4Dividir m₀/m₁ e racionalizar
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Critério

Reta original (m₀)

Reta após rotação (m₁)

Razão m₀/m₁

Pontos usados

P = (2, 4) e Q = (−1, −2)

P′ = (√3 − 2, 1 + 2√3) e Q = (−1, −2)

—

Coeficiente angular

m₀ = 2

m₁ = (9 + 5√3)/2

4/(9 + 5√3) = 6 − (10/3)√3

Forma final

y = 2x + c

y = [(9 + 5√3)/2]x + d

Alternativa D

Alternativa A — ❌ Incorreta

O valor 12\frac{1}{2} é o inverso da razão correta? Não: o inverso de 6−10336 - \frac{10}{3}\sqrt{3} não é 12\frac{1}{2}. Esse valor não corresponde a nenhuma etapa do cálculo. Provavelmente o candidato que marcou A calculou m1m_1 de forma incorreta (por exemplo, esquecendo de racionalizar ou errando a rotação) e obteve um número simples.

Alternativa B — ❌ Incorreta

O valor 2 é exatamente o coeficiente angular m0m_0. Quem marcou B provavelmente confundiu a razão m0/m1m_0/m_1 com o próprio m0m_0, ou errou o cálculo de m1m_1 de modo que a razão simplificasse para 2. Mas o cálculo correto mostra que a razão é um número irracional, não 2.

Alternativa C — ❌ Incorreta

O valor 9+534\frac{9+5\sqrt{3}}{4} é a metade de 9+532\frac{9+5\sqrt{3}}{2}, que é exatamente o valor de m1m_1. Quem marcou C provavelmente calculou m1m_1 corretamente, mas inverteu a razão (calculou m1/m0m_1/m_0 em vez de m0/m1m_0/m_1) e depois dividiu por 2 por engano. A razão correta é o inverso de m1m_1 multiplicado por 2.

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como demonstrado, m0=2m_0 = 2, m1=9+532m_1 = \frac{9+5\sqrt{3}}{2}, e a razão m0/m1=49+53=6−1033m_0/m_1 = \frac{4}{9+5\sqrt{3}} = 6 - \frac{10}{3}\sqrt{3}. A alternativa D reproduz exatamente esse valor.

Alternativa E — ❌ Incorreta

O valor 233\frac{2\sqrt{3}}{3} é igual a tan⁡30°\tan 30°. Quem marcou E provavelmente confundiu a razão pedida com a tangente do ângulo de rotação, ou errou completamente o cálculo de m1m_1. Não há relação direta entre a razão dos coeficientes e a tangente do ângulo de rotação.

NÃO CAIA NESSA!

A banca explora a confusão entre m0m_0 e m1m_1: a alternativa B traz o valor de m0m_0 (2), e a alternativa C traz a metade de m1m_1. Além disso, a alternativa E usa tan⁡30°\tan 30°, um valor que aparece naturalmente quando se pensa em rotação, mas que não é a resposta. Fique atento: a razão pedida é m0/m1m_0/m_1, não m1/m0m_1/m_0 nem m0m_0 isolado.

PEGA ESSA DICA!

Para questões de rotação de pontos, memorize a matriz de rotação: (cos⁡θ−sin⁡θsin⁡θcos⁡θ)\begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}. E lembre-se de racionalizar denominadores com raízes — é o passo que mais gera erros de conta. Treine com ângulos notáveis (30°, 45°, 60°) para ganhar velocidade.

Gabarito: letra D

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