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Questão de Matemática — Geometria Espacial — FUNDATEC 2023

MatemáticaGeometria Espacial
Código
qq894858
Banca
FUNDATEC
Órgão
IF-SC
Ano
2023
Nível
Superior
Cargo
Professor EBTT - Matemática
A distância entre o ponto (1, 2, √2) e o plano com equação dada por x − 3/5 y + √2/5 z = 1 é:
  1. A1.
  2. B1/2.
  3. C2/3.
  4. D3/2.
  5. ENenhuma das alternativas anteriores.
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GabaritoC — 2/3.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra C — a conta chega a 2/3 (alternativa C).

A ideia por trás

A distância de um ponto a um plano é o comprimento do segmento perpendicular que liga o ponto ao plano. Para calculá-la, precisamos da equação geral do plano, ax + by + cz + d = 0, e das coordenadas do ponto (x₀, y₀, z₀). A fórmula é d = |ax₀ + by₀ + cz₀ + d| / √(a² + b² + c²). O numerador mede o quanto o ponto 'desvia' do plano na direção normal, e o denominador normaliza pelo tamanho do vetor normal. Nesta questão, o plano está dado em uma forma que não é a geral, então precisamos reescrevê-la antes de aplicar a fórmula.

O que a questão dá

  • ponto P = (1, 2, √2)

  • plano: x − 3/5 y + √2/5 z = 1

O que queremos: a distância do ponto ao plano

Passo 1 — Reescrever a equação do plano na forma geral

A fórmula da distância exige a equação do plano na forma ax + by + cz + d = 0. A equação dada tem o 1 do lado direito, então precisamos passá-lo para o lado esquerdo, subtraindo 1 dos dois lados.

Por que esta fórmula: A forma geral é a que aparece na fórmula da distância; sem ela, não conseguimos identificar os coeficientes a, b, c e d.

x−35y+25z−1=0x - \frac{3}{5}y + \frac{\sqrt{2}}{5}z - 1 = 0

De onde vem cada valor: xx = enunciado: termo x do plano · yy = enunciado: termo y do plano · zz = enunciado: termo z do plano · 11 = enunciado: constante do lado direito, movida para a esquerda

x−35y+25z−1=0x - \frac{3}{5}y + \frac{\sqrt{2}}{5}z - 1 = 0
x−35y+25z−1=0x - \frac{3}{5}y + \frac{\sqrt{2}}{5}z - 1 = \boxed{0}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de subtrair 1 e usar d = 1 em vez de d = -1, o que altera o numerador.

Passo 2 — Identificar os coeficientes do plano

Com a equação na forma geral, podemos ler diretamente os coeficientes a, b, c e o termo independente d, que serão usados na fórmula da distância.

Por que esta fórmula: A fórmula da distância usa esses coeficientes; identificá-los corretamente é essencial para a substituição.

a=1,  b=−35,  c=25,  d=−1a = 1, \; b = -\frac{3}{5}, \; c = \frac{\sqrt{2}}{5}, \; d = -1

De onde vem cada valor: aa = passo 1: coeficiente de x · bb = passo 1: coeficiente de y · cc = passo 1: coeficiente de z · dd = passo 1: termo constante

a=1,  b=−35,  c=25,  d=−1a = 1, \; b = -\frac{3}{5}, \; c = \frac{\sqrt{2}}{5}, \; d = -1

a = 1, b = -3/5, c = √2/5, d = -1

NÃO CAIA NESSA!

Confundir o sinal de b ou d; b é negativo porque o termo é -3/5 y, e d é -1 porque movemos o 1.

Passo 3 — Calcular o numerador da fórmula

O numerador |ax₀ + by₀ + cz₀ + d| mede a 'distância assinada' do ponto ao plano na direção normal. Precisamos substituir as coordenadas do ponto e os coeficientes.

Por que esta fórmula: É a parte de cima da fórmula da distância; sem ela não há distância.

N=∣ax0+by0+cz0+d∣N = |a x_0 + b y_0 + c z_0 + d|

De onde vem cada valor: aa = passo 2: 1 · x0x_0 = enunciado: 1 · bb = passo 2: -3/5 · y0y_0 = enunciado: 2 · cc = passo 2: √2/5 · z0z_0 = enunciado: √2 · dd = passo 2: -1

N=∣1⋅1+(−35)⋅2+25⋅2−1∣N = |1 \cdot 1 + (-\frac{3}{5}) \cdot 2 + \frac{\sqrt{2}}{5} \cdot \sqrt{2} - 1|
N=4 /5N = \boxed{4\ /5}
NÃO CAIA NESSA!

Errar a conta: 1 - 6/5 + 2/5 - 1 = -4/5, e o módulo dá 4/5. Não esquecer que √2 · √2 = 2.

Passo 4 — Calcular o denominador da fórmula

O denominador √(a² + b² + c²) é o comprimento do vetor normal ao plano. Ele normaliza a distância, garantindo que ela não dependa da escala da equação.

Por que esta fórmula: É a parte de baixo da fórmula da distância; precisamos dela para obter a distância real.

D = √(a^2 + b^2 + c^2)

De onde vem cada valor: aa = passo 2: 1 · bb = passo 2: -3/5 · cc = passo 2: √2/5

D = sqrt1^2 + (-(3)/(5))^2 + ((√(2))/(5))^2
D=6 /5D = \boxed{6\ /5}
NÃO CAIA NESSA!

Errar ao elevar ao quadrado: (-3/5)² = 9/25, (√2/5)² = 2/25. Somar 1 + 9/25 + 2/25 = 36/25, e a raiz dá 6/5.

Passo 5 — Dividir o numerador pelo denominador

A distância é a razão entre o numerador e o denominador. Agora que temos ambos, basta dividir.

Por que esta fórmula: A fórmula da distância é exatamente essa divisão; é o passo final do cálculo.

d=NDd = \frac{N}{D}

De onde vem cada valor: NN = passo 3: 4/5 · DD = passo 4: 6/5

d=4565d = \frac{\frac{4}{5}}{\frac{6}{5}}
d=2 /3d = \boxed{2\ /3}
NÃO CAIA NESSA!

Inverter a divisão: dividir D por N, obtendo 3/2. Lembre-se: dividir frações é multiplicar pelo inverso da segunda.

Resposta: 2/3 (alternativa C)

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