Questão de Matemática — Progressões — FUNDATEC 2023

Progressão Geométrica: razão e soma infinita

Gabarito: letra B. A razão da PG é $q = \frac{10\sqrt{2}}{20} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ e a soma infinita é $S = \frac{a_1}{1-q} = \frac{20}{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}} = 40(1+\sqrt{2})$. Dividindo $S$ por $q$, obtemos $\frac{S}{q} = \frac{40(1+\sqrt{2})}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 40(1+\sqrt{2}) \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = 40\sqrt{2}(1+\sqrt{2}) = 40(2+\sqrt{2})$. Perceba que a alternativa B é $40(1+\sqrt{2})$, que é exatamente o valor de $S$, não de $S/q$. Vamos refazer com atenção: a questão pede $S/q$. Calculamos $S = 40(1+\sqrt{2})$ e $q = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Então $S/q = \frac{40(1+\sqrt{2})}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 40(1+\sqrt{2}) \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = 40(1+\sqrt{2}) \cdot \sqrt{2} = 40\sqrt{2} + 40 \cdot 2 = 40\sqrt{2} + 80 = 40(2+\sqrt{2})$. Isso não está nas alternativas. Há um erro no meu cálculo ou no gabarito? Vamos verificar: a soma infinita $S = \frac{a_1}{1-q} = \frac{20}{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{20}{\frac{2-\sqrt{2}}{2}} = \frac{40}{2-\sqrt{2}} = \frac{40(2+\sqrt{2})}{(2-\sqrt{2})(2+\sqrt{2})} = \frac{40(2+\sqrt{2})}{4-2} = 20(2+\sqrt{2}) = 40+20\sqrt{2}$. Então $S = 40+20\sqrt{2}$. Agora $S/q = \frac{40+20\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = (40+20\sqrt{2}) \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = \frac{80+40\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{80}{\sqrt{2}} + 40 = 40\sqrt{2} + 40 = 40(1+\sqrt{2})$. Agora sim! O resultado é $40(1+\sqrt{2})$, que corresponde à alternativa B. Meu erro anterior foi na simplificação de $S$: $\frac{40}{2-\sqrt{2}} = 20(2+\sqrt{2})$, e não $40(1+\sqrt{2})$. Vamos detalhar tudo.

A questão envolve dois conceitos centrais de Progressão Geométrica: o cálculo da razão e a soma dos termos de uma PG infinita convergente. A razão $q$ é obtida dividindo um termo pelo seu antecessor. A soma infinita só existe quando $|q| < 1$, e é dada por $S = \frac{a_1}{1-q}$. A banca combina esses dois conceitos em uma única expressão, $S/q$, o que exige cuidado na manipulação algébrica com radicais.

Vamos passo a passo:

1. Cálculo da razão $q$: A PG é $20, 10\sqrt{2}, 10, \ldots$. A razão é o quociente entre dois termos consecutivos:

   $q = \frac{10\sqrt{2}}{20} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

   Confirma-se com o terceiro termo: $10\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 10 \cdot \frac{2}{2} = 10$. Correto.

1. Cálculo da soma infinita $S$: Como $|q| = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0,707 < 1$, a série converge. A fórmula é:

   $S = \frac{a_1}{1-q} = \frac{20}{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{20}{\frac{2-\sqrt{2}}{2}} = \frac{40}{2-\sqrt{2}}$

   Racionalizando:

   $S = \frac{40}{2-\sqrt{2}} \cdot \frac{2+\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}} = \frac{40(2+\sqrt{2})}{4-2} = \frac{40(2+\sqrt{2})}{2} = 20(2+\sqrt{2}) = 40 + 20\sqrt{2}$

1. Cálculo de $S/q$: Agora dividimos $S$ por $q$:

   $\frac{S}{q} = \frac{40 + 20\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = (40 + 20\sqrt{2}) \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = \frac{80 + 40\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{80}{\sqrt{2}} + \frac{40\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 40\sqrt{2} + 40 = 40(1+\sqrt{2})$

   Portanto, $S/q = 40(1+\sqrt{2})$.

A alternativa correta é a letra B.

Alternativa A — ❌ Incorreta

Apresenta $20(1+\sqrt{2})$, que é exatamente a metade do valor correto. O candidato que erra aqui provavelmente calculou $S$ como $20(1+\sqrt{2})$ (esquecendo de racionalizar corretamente ou dividindo por 2 a mais) e não dividiu por $q$, ou dividiu $S$ por $q$ mas errou na simplificação final, obtendo a metade. O valor $20(1+\sqrt{2})$ seria o resultado de $S/2$, não de $S/q$.

Alternativa B — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como demonstrado, $S/q = 40(1+\sqrt{2})$. A alternativa espelha exatamente o resultado da divisão da soma infinita pela razão, após a racionalização e simplificação corretas.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Apresenta $20\sqrt{2}$. Esse valor não corresponde a nenhuma etapa intermediária óbvia do cálculo. Pode surgir de um erro como calcular $S/q$ fazendo $S \cdot q$ (em vez de dividir), ou de uma simplificação incorreta dos radicais. $20\sqrt{2}$ seria o resultado de $S \cdot q$ se $S = 40$ (o que não é o caso).

Alternativa D — ❌ Incorreta

Apresenta $40\sqrt{2}$. Esse valor é a parte irracional do resultado correto, mas sem a parcela racional 40. O candidato que marca esta opção provavelmente calculou $S/q$ corretamente até $40\sqrt{2} + 40$, mas esqueceu de somar a parcela 40, ou errou na racionalização de $\frac{80}{\sqrt{2}}$, obtendo $40\sqrt{2}$ em vez de $40\sqrt{2} + 40$.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Apresenta apenas 20. Esse valor não tem relação direta com o cálculo. Pode ser uma tentativa de simplificar $S/q$ ignorando completamente os radicais, ou uma confusão com o primeiro termo da PG ($a_1 = 20$). O candidato que marca esta opção provavelmente não aplicou as fórmulas e chutou um valor que aparecia no enunciado.

Gabarito: letra B