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Questão de Matemática — Álgebra — FUNDATEC 2023

MatemáticaÁlgebra
Código
qq894861
Banca
FUNDATEC
Órgão
IF-SC
Ano
2023
Nível
Superior
Cargo
Professor EBTT - Matemática
O número de soluções distintas da equação |x² − 2x − 1| = 1 é:
  1. A0.
  2. B1.
  3. C2.
  4. D3.
  5. E4.
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GabaritoE — 4.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra E — a conta chega a 4 soluções distintas (alternativa E).

A ideia por trás

O módulo de um número real é a sua distância até o zero na reta numérica, por isso é sempre não negativo. Quando temos uma equação do tipo |f(x)| = k, com k ≥ 0, isso significa que a expressão dentro do módulo pode ser igual a k ou a -k, pois ambos têm o mesmo módulo. Nesta questão, a expressão é uma função do segundo grau, então cada uma dessas possibilidades gera uma equação do segundo grau, que pode ter até duas raízes reais. O número total de soluções distintas é a soma das raízes distintas de cada caso, desde que não se repitam.

O que a questão dá

  • equação: |x² − 2x − 1| = 1

O que queremos: o número de soluções distintas da equação

Passo 1 — Desdobrar a equação modular em dois casos

A definição de módulo diz que |y| = k implica y = k ou y = -k. Aqui y é a expressão x² − 2x − 1, então precisamos considerar as duas possibilidades para eliminar o módulo e obter equações comuns de resolver.

Por que esta fórmula: É a propriedade fundamental do módulo: para qualquer número real y, |y| = k (com k ≥ 0) equivale a y = k ou y = -k. Isso porque tanto k quanto -k têm distância k até zero.

x2−2x−1=1oux2−2x−1=−1x^{2} - 2x - 1 = 1 \quad \text{ou} \quad x^{2} - 2x - 1 = -1

De onde vem cada valor: x2−2x−1x^{2} - 2x - 1 = enunciado: expressão dentro do módulo · 11 = enunciado: valor do módulo

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de considerar o caso com sinal negativo, o que leva a perder soluções.

Passo 2 — Resolver a primeira equação do segundo grau

A primeira possibilidade é x² − 2x − 1 = 1. Precisamos resolver essa equação para encontrar as soluções desse caso.

Por que esta fórmula: É uma equação do segundo grau, então usamos a fórmula de Bhaskara: x = (-b ± √Δ)/(2a), com Δ = b² − 4ac.

x2−2x−2=0x^{2} - 2x - 2 = 0

De onde vem cada valor: x2−2x−2x^{2} - 2x - 2 = passo 1: subtraindo 1 de ambos os lados da equação x² − 2x − 1 = 1

x=2±(−2)2−4⋅1⋅(−2)2⋅1x = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-2)}}{2 \cdot 1}
x=1±3x = \boxed{1 \pm \sqrt{3}}
NÃO CAIA NESSA!

Errar o sinal no discriminante: Δ = 4 + 8 = 12, não 4 − 8.

Passo 3 — Resolver a segunda equação do segundo grau

A segunda possibilidade é x² − 2x − 1 = -1. Precisamos resolver essa equação para obter as soluções do segundo caso.

Por que esta fórmula: É outra equação do segundo grau, mas aqui podemos fatorar, pois o termo constante é zero.

x2−2x=0x^{2} - 2x = 0

De onde vem cada valor: x2−2xx^{2} - 2x = passo 1: somando 1 a ambos os lados da equação x² − 2x − 1 = -1

x(x−2)=0x(x - 2) = 0

x=0oux=2x = 0 \quad \text{ou} \quad x = 2

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer a raiz x = 0 ao fatorar, ou errar o sinal ao passar o -1.

Passo 4 — Contar as soluções distintas

Temos as soluções de cada caso: do primeiro caso, 1 + √3 e 1 − √3; do segundo, 0 e 2. Precisamos verificar se alguma se repete e contar quantas são distintas.

4 soluções distintas

NÃO CAIA NESSA!

Achar que as raízes de um caso são iguais às do outro, mas aqui são todas diferentes.

Resposta: 4 soluções distintas (alternativa E)

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