Questão de Matemática — Trigonometria — FUNDATEC 2023

Tangente de 30° no triângulo retângulo

Gabarito: letra B — a tangente de 30° é $\frac{1}{\sqrt{3}}$, que também pode ser escrita como $\frac{\sqrt{3}}{3}$. O valor da tangente de um ângulo agudo é a razão entre o cateto oposto e o cateto adjacente a esse ângulo, e para os ângulos notáveis (30°, 45°, 60°) esse valor é fixo, independentemente do tamanho do triângulo. A hipotenusa de 10 unidades é um dado que não altera a tangente — ela é uma razão entre catetos, e essa razão é constante para cada ângulo.

A tangente é uma das razões trigonométricas fundamentais do triângulo retângulo. Enquanto o seno relaciona o cateto oposto com a hipotenusa e o cosseno relaciona o cateto adjacente com a hipotenusa, a tangente relaciona os dois catetos entre si:

Para o ângulo de 30°, os valores notáveis são:

• $\sin 30° = \frac{1}{2}$

• $\cos 30° = \frac{\sqrt{3}}{2}$

• $\tan 30° = \frac{\sin 30°}{\cos 30°} = \frac{1/2}{\sqrt{3}/2} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

A pegadinha da questão está em apresentar a tangente de 30° em uma forma não usual: $\frac{1}{\sqrt{3}}$ em vez de $\frac{\sqrt{3}}{3}$. Muitos candidatos, ao verem $\frac{\sqrt{3}}{3}$, não reconhecem que é o mesmo número que $\frac{1}{\sqrt{3}}$. A banca também incluiu distratores que são valores de outras razões ou de outros ângulos notáveis, como $\sqrt{3}$ (tangente de 60°) e $\frac{1}{3}$ (que não corresponde a nenhum valor trigonométrico notável).

Alternativa A — ❌ Incorreta

$\sqrt{3}$ é a tangente de 60°, não de 30°. É um distrator clássico: inverte o ângulo notável. Enquanto $\tan 30° = \frac{\sqrt{3}}{3}$, temos $\tan 60° = \sqrt{3}$. A banca troca o ângulo para testar se o candidato decorou os valores sem entender a relação.

Alternativa B — ✅ Correta ⟵ GABARITO

$\frac{1}{\sqrt{3}}$ é exatamente a tangente de 30°. Pela definição, $\tan \theta = \frac{\text{cateto oposto}}{\text{cateto adjacente}}$, e para 30° essa razão vale $\frac{1}{\sqrt{3}}$, que é equivalente a $\frac{\sqrt{3}}{3}$ (racionalizando). O comprimento da hipotenusa (10 unidades) é irrelevante para o valor da tangente, pois ela é uma razão entre catetos — e essa razão é constante para cada ângulo, independentemente do tamanho do triângulo.

Alternativa C — ❌ Incorreta

$\frac{1}{3}$ não corresponde a nenhum valor trigonométrico notável. É um distrator numérico que pode confundir quem tenta calcular a tangente como uma fração simples dos lados, sem lembrar dos valores notáveis. Não há relação com $\tan 30°$.

Alternativa D — ❌ Incorreta

$3\sqrt{3}$ é um valor que não corresponde a nenhuma razão trigonométrica de ângulo notável. É um distrator que mistura o 3 (que aparece na racionalização de $\frac{1}{\sqrt{3}}$) com a raiz de 3, gerando um número grande e aparentemente plausível para quem não domina o assunto.

Alternativa E — ❌ Incorreta

$\frac{3}{\sqrt{3}}$ é igual a $\sqrt{3}$ (pois $\frac{3}{\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3}$), que é a tangente de 60°, não de 30°. É uma variação do distrator da alternativa A, disfarçada com uma fração que parece diferente, mas que se simplifica para o mesmo valor errado.

Na prova, se a alternativa trouxer uma forma não usual (como $\frac{1}{\sqrt{3}}$), racionalize mentalmente para comparar com a forma que você memorizou. E lembre: a tangente não depende da hipotenusa — ela é razão entre catetos, então o valor de 10 unidades é só um chamariz.

Gabarito: letra B