Questão de Matemática — Funções — FUNDATEC 2023

Função afim: domínio, contradomínio e imagem

Gabarito: letra E. A imagem é o conjunto dos valores que a função efetivamente assume ao aplicar a lei $f(x) = 3x - 2$ em cada elemento do domínio. Calculando para $x \in \{1, 3, 5, 7\}$, obtemos $f(1)=1$, $f(3)=7$, $f(5)=13$ e $f(7)=19$, logo $\text{Im} = \{1, 7, 13, 19\}$.

O conceito central aqui é a distinção entre domínio, contradomínio e imagem. O domínio é o conjunto de partida (os valores que $x$ pode assumir); o contradomínio é o conjunto onde os resultados podem estar (no caso, os números naturais de 0 a 20); e a imagem é o subconjunto do contradomínio formado pelos valores que a função realmente produz. A imagem nunca é um conjunto arbitrário — ela é determinada pela aplicação da lei de formação a cada elemento do domínio.

A pegadinha da banca está em confundir o contradomínio com a imagem. O contradomínio é apenas um "recipiente" que contém todos os resultados possíveis; a imagem é o que de fato acontece. Por isso, alternativas que incluem números como 0 ou 13 (que não são resultados) estão erradas — eles podem pertencer ao contradomínio, mas não à imagem.

Vamos calcular cada valor:

• $f(1) = 3 \cdot 1 - 2 = 1$

• $f(3) = 3 \cdot 3 - 2 = 7$

• $f(5) = 3 \cdot 5 - 2 = 13$

• $f(7) = 3 \cdot 7 - 2 = 19$

Todos os resultados (1, 7, 13, 19) estão dentro do contradomínio (naturais de 0 a 20), então a função está bem definida. O conjunto imagem é exatamente $\{1, 7, 13, 19\}$.

Alternativa A — ❌ Incorreta

Falta o valor 1. A alternativa omite $f(1) = 1$, que é um dos resultados da função. O conjunto $\{7, 13, 19\}$ contém apenas três dos quatro valores da imagem.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Inclui o número 0, que não é resultado de nenhum $x$ do domínio. O 0 pertence ao contradomínio (naturais de 0 a 20), mas não é imagem. Além disso, omite o valor 1.

Alternativa C — ❌ Incorreta

O conjunto imagem nunca é vazio quando o domínio é não vazio. Como há quatro elementos no domínio, cada um gera uma imagem, então a imagem tem pelo menos um elemento.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Contém apenas o valor 7, que é a imagem de $x=3$, mas ignora os demais resultados (1, 13 e 19).

Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Contém exatamente os quatro valores obtidos: $f(1)=1$, $f(3)=7$, $f(5)=13$ e $f(7)=19$. É o conjunto imagem completo.

Gabarito: letra E