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Questão de Matemática — Aritmética e Problemas — FUNDATEC 2023

MatemáticaAritmética e Problemas
Código
qq896651
Banca
FUNDATEC
Órgão
IPASEM de Campo Bom - RS
Ano
2023
Nível
Médio
Cargo
Assistente Administrativo
O valor do cubo do máximo divisor comum entre os números 10, 15 e 20 é:
  1. A25.
  2. B100.
  3. C125.
  4. D625.
  5. E800.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoC — 125.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra C — a conta chega a 125 (letra C).

A ideia por trás

O máximo divisor comum (MDC) entre dois ou mais números é o maior número que divide todos eles sem deixar resto. Ele é encontrado fatorando cada número em fatores primos e multiplicando os fatores comuns com os menores expoentes. Por exemplo, o MDC de 12 e 18 é 6, pois 6 divide ambos e é o maior número com essa propriedade. A potenciação, por sua vez, é uma operação que multiplica um número por ele mesmo várias vezes: elevar ao cubo significa multiplicar o número por si mesmo três vezes (n³ = n × n × n). Nesta questão, precisamos primeiro calcular o MDC de 10, 15 e 20 e depois elevar o resultado ao cubo, combinando os dois conceitos.

O que a questão dá

  • números: 10, 15 e 20

O que queremos: o cubo do máximo divisor comum entre 10, 15 e 20

Passo 1 — Fatorar cada número em primos

Para encontrar o MDC, precisamos decompor cada número em seus fatores primos. Isso nos mostra quais fatores são comuns e com quais expoentes.

Por que esta fórmula: A fatoração em primos é a base para calcular o MDC: escrevemos cada número como produto de primos.

10=2×515=3×520=22×510 = 2 \times 5 \\ 15 = 3 \times 5 \\ 20 = 2^{2} \times 5

De onde vem cada valor: 1010 = enunciado: número 10 · 1515 = enunciado: número 15 · 2020 = enunciado: número 20

10=2×515=3×520=22×510 = 2 \times 5 \\ 15 = 3 \times 5 \\ 20 = 2^{2} \times 5

10 = 2 × 5; 15 = 3 × 5; 20 = 2² × 5

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de fatorar completamente, como escrever 20 = 4 × 5 em vez de 2² × 5.

Passo 2 — Identificar os fatores comuns

O MDC é formado apenas pelos fatores primos que aparecem em todas as fatorações. Precisamos comparar as três decomposições e ver quais primos são comuns.

Por que esta fórmula: O MDC é o produto dos fatores comuns com os menores expoentes. Aqui, o único primo que aparece nos três números é o 5.

MDC=5MDC = 5

De onde vem cada valor: 55 = passo 1: fator comum a 10, 15 e 20

MDC=5=5MDC = 5 = \boxed{5}
NÃO CAIA NESSA!

Incluir o fator 2, que não é comum a 15, ou o fator 3, que não é comum a 10 e 20.

Passo 3 — Elevar o MDC ao cubo

O enunciado pede o cubo do MDC, ou seja, multiplicar o MDC por ele mesmo três vezes. Isso é a operação de potenciação com expoente 3.

Por que esta fórmula: Cubo de um número n é n³ = n × n × n. Aqui, n = 5.

53=5×5×55^{3} = 5 \times 5 \times 5

De onde vem cada valor: 55 = passo 2: MDC = 5

53=5×5×5=1255^{3} = 5 \times 5 \times 5 = \boxed{125}
NÃO CAIA NESSA!

Elevar ao quadrado (5² = 25) em vez de ao cubo, ou calcular o MMC (60) e elevar ao cubo.

Resposta: 125 (letra C)

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