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Questão de Matemática — Probabilidade — FUNDATEC 2023

MatemáticaProbabilidade
Código
qq897080
Banca
FUNDATEC
Órgão
PROCERGS
Ano
2023
Nível
Superior
Cargo
ANC - Analista em Computação - Ênfase em Ciências de Dados
Considere o seguinte exemplo do uso de Naïve Bayses: José voa com frequência e gosta de atualizar o seu assento para a primeira classe. Ele determinou que, se fizer check-in para o seu voo pelo menos duas horas antes, a probabilidade de conseguir um upgrade é de 0,75. Caso contrário, a probabilidade de obter uma atualização para a primeira classe é de 0,35. Com sua agenda lotada, ele faz check-in pelo menos duas horas antes de seu voo apenas 40% do tempo. Suponha que José não tenha recebido uma atualização para a primeira classe em sua tentativa mais recente. Qual é a probabilidade de que José não tenha chegado duas horas mais cedo?
  1. A0,49.
  2. B0,51.
  3. C0,65.
  4. D0,75.
  5. E0,79.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoE — 0,79.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra E — a conta chega a A probabilidade é aproximadamente 0,79, portanto a alternativa correta é a letra E..

A ideia por trás

O Teorema de Bayes é uma ferramenta para atualizar probabilidades quando recebemos uma nova informação. Ele responde perguntas do tipo: 'sabendo que um efeito ocorreu, qual a chance de uma causa específica ter sido a responsável?'. No dia a dia, usamos isso para revisar nossas crenças: por exemplo, se um teste deu positivo, qual a chance de realmente estar doente? A fórmula combina a probabilidade de cada causa com a probabilidade do efeito dado aquela causa, e divide pela probabilidade total do efeito.

A fórmula de Bayes para dois eventos complementares A e ¬A é: P(A|B) = P(B|A)·P(A) / [P(B|A)·P(A) + P(B|¬A)·P(¬A)]. Aqui, A é 'chegar cedo' (C) e B é 'não receber upgrade' (¬U). O numerador é a probabilidade de não receber upgrade vindo de quem não chegou cedo; o denominador é a probabilidade total de não receber upgrade, somando os dois caminhos possíveis (chegar cedo ou não).

Nesta questão, queremos inverter a condicional: sabemos que não houve upgrade e queremos a chance de ele não ter chegado cedo. Isso exige aplicar Bayes, não apenas olhar as probabilidades diretas.

O que a questão dá

  • P(C) = 0,40 (probabilidade de fazer check-in com pelo menos 2h de antecedência)

  • P(U|C) = 0,75 (probabilidade de upgrade dado que chegou cedo)

  • P(U|¬C) = 0,35 (probabilidade de upgrade dado que não chegou cedo)

O que queremos: a probabilidade de José não ter chegado cedo, dado que não recebeu upgrade: P(¬C|¬U)

Passo 1 — Calcular a probabilidade de não chegar cedo

Precisamos da probabilidade de José não chegar cedo, pois ela aparece no numerador da fórmula de Bayes. Como ele chega cedo 40% das vezes, o complemento é 60%.

Por que esta fórmula: A probabilidade do complemento de um evento é 1 menos a probabilidade do evento, pois os dois cobrem todas as possibilidades.

P(Cˉ)=1−P(C)P(\bar{C}) = 1 - P(C)

De onde vem cada valor: P(C)P(C) = enunciado: 0,40

P(Cˉ)=1−0,40=0,60P(\bar{C}) = 1 - 0{,}40 = \boxed{0{,}60}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de calcular o complemento e usar 0,40 no lugar de 0,60 no numerador.

Passo 2 — Calcular as probabilidades de não receber upgrade

A fórmula de Bayes usa as probabilidades de não receber upgrade dado cada condição de chegada. Como o enunciado dá as probabilidades de receber upgrade, precisamos dos complementos.

Por que esta fórmula: Para cada condição (chegou cedo ou não), a probabilidade de não receber upgrade é 1 menos a probabilidade de receber, pois são eventos complementares.

P(Uˉ∣C)=1−P(U∣C)eP(Uˉ∣Cˉ)=1−P(U∣Cˉ)P(\bar{U}|C) = 1 - P(U|C) \quad \text{e} \quad P(\bar{U}|\bar{C}) = 1 - P(U|\bar{C})

De onde vem cada valor: P(U∣C)P(U|C) = enunciado: 0,75 · P(U∣Cˉ)P(U|\bar{C}) = enunciado: 0,35

P(Uˉ∣C)=1−0,75=0,25eP(Uˉ∣Cˉ)=1−0,35=0,65=0,25e0 ,65P(\bar{U}|C) = 1 - 0{,}75 = 0{,}25 \quad \text{e} \quad P(\bar{U}|\bar{C}) = 1 - 0{,}35 = 0{,}65 = \boxed{0{,}25 e 0\ ,65}
NÃO CAIA NESSA!

Usar diretamente 0,75 e 0,35 no lugar dos complementos, invertendo o raciocínio.

Passo 3 — Montar a fórmula de Bayes

Queremos a probabilidade de não ter chegado cedo, dado que não recebeu upgrade. Isso é uma probabilidade condicional invertida, então precisamos do Teorema de Bayes.

Por que esta fórmula: O Teorema de Bayes relaciona P(¬C|¬U) com P(¬U|¬C), P(¬C) e a probabilidade total de ¬U. O denominador soma as duas maneiras de não receber upgrade: vindo de quem chegou cedo ou de quem não chegou.

P(Cˉ∣Uˉ)=P(Uˉ∣Cˉ)⋅P(Cˉ)P(Uˉ∣Cˉ)⋅P(Cˉ)+P(Uˉ∣C)⋅P(C)P(\bar{C}|\bar{U}) = \frac{P(\bar{U}|\bar{C}) \cdot P(\bar{C})}{P(\bar{U}|\bar{C}) \cdot P(\bar{C}) + P(\bar{U}|C) \cdot P(C)}

De onde vem cada valor: P(Uˉ∣Cˉ)P(\bar{U}|\bar{C}) = passo 2: 0,65 · P(Cˉ)P(\bar{C}) = passo 1: 0,60 · P(Uˉ∣C)P(\bar{U}|C) = passo 2: 0,25 · P(C)P(C) = enunciado: 0,40

P(Cˉ∣Uˉ)=0,65⋅0,600,65⋅0,60+0,25⋅0,40P(\bar{C}|\bar{U}) = \frac{0{,}65 \cdot 0{,}60}{0{,}65 \cdot 0{,}60 + 0{,}25 \cdot 0{,}40}
NÃO CAIA NESSA!

Inverter o numerador, usando P(¬U|C)·P(C) em cima, o que daria a probabilidade de ter chegado cedo dado que não recebeu upgrade.

Passo 4 — Calcular o numerador

O numerador é a probabilidade conjunta de não chegar cedo e não receber upgrade. Precisamos desse valor para a divisão final.

Por que esta fórmula: Multiplicamos a probabilidade de não chegar cedo pela probabilidade de não receber upgrade dado que não chegou cedo, pois é a regra da probabilidade da interseção.

P(Uˉ∩Cˉ)=P(Uˉ∣Cˉ)⋅P(Cˉ)P(\bar{U} \cap \bar{C}) = P(\bar{U}|\bar{C}) \cdot P(\bar{C})

De onde vem cada valor: P(Uˉ∣Cˉ)P(\bar{U}|\bar{C}) = passo 2: 0,65 · P(Cˉ)P(\bar{C}) = passo 1: 0,60

0,65⋅0,60=0,39=0,390{,}65 \cdot 0{,}60 = 0{,}39 = \boxed{0{,}39}
NÃO CAIA NESSA!

Trocar a ordem dos fatores, mas como é multiplicação, não muda; o erro comum é usar 0,40 em vez de 0,60.

Passo 5 — Calcular o denominador

O denominador é a probabilidade total de não receber upgrade, somando os dois caminhos possíveis. Isso normaliza a probabilidade condicional.

Por que esta fórmula: Pelo Teorema da Probabilidade Total, a probabilidade de ¬U é a soma das probabilidades de ¬U em cada cenário (chegar cedo ou não), cada uma multiplicada pela probabilidade do cenário.

P(Uˉ)=P(Uˉ∣Cˉ)⋅P(Cˉ)+P(Uˉ∣C)⋅P(C)P(\bar{U}) = P(\bar{U}|\bar{C}) \cdot P(\bar{C}) + P(\bar{U}|C) \cdot P(C)

De onde vem cada valor: P(Uˉ∣Cˉ)P(\bar{U}|\bar{C}) = passo 2: 0,65 · P(Cˉ)P(\bar{C}) = passo 1: 0,60 · P(Uˉ∣C)P(\bar{U}|C) = passo 2: 0,25 · P(C)P(C) = enunciado: 0,40

0,65⋅0,60+0,25⋅0,40=0,39+0,10=0,49=0,490{,}65 \cdot 0{,}60 + 0{,}25 \cdot 0{,}40 = 0{,}39 + 0{,}10 = 0{,}49 = \boxed{0{,}49}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de somar o segundo termo, usando apenas 0,39 como denominador, o que daria 1,0.

Passo 6 — Dividir numerador pelo denominador

A fórmula de Bayes exige dividir a probabilidade conjunta pela probabilidade total do evento observado. Agora temos os dois valores.

Por que esta fórmula: A divisão é a própria definição de probabilidade condicional: P(A|B) = P(A∩B)/P(B).

P(Cˉ∣Uˉ)=P(Uˉ∩Cˉ)P(Uˉ)P(\bar{C}|\bar{U}) = \frac{P(\bar{U} \cap \bar{C})}{P(\bar{U})}

De onde vem cada valor: P(Uˉ∩Cˉ)P(\bar{U} \cap \bar{C}) = passo 4: 0,39 · P(Uˉ)P(\bar{U}) = passo 5: 0,49

0,390,49≈0,7959=0,80\frac{0{,}39}{0{,}49} \approx 0{,}7959 = \boxed{0{,}80}
NÃO CAIA NESSA!

Arredondar para 0,79 ou 0,80; a alternativa correta é 0,79 (E), pois o valor exato é 0,7959.

Resposta: A probabilidade é aproximadamente 0,79, portanto a alternativa correta é a letra E.

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