GabaritoD — √2m.
Gabarito: letra D. Em um triângulo retângulo isósceles, os catetos são iguais e a hipotenusa (maior lado) é igual ao cateto multiplicado por √2, resultado direto do Teorema de Pitágoras. Como o menor lado é m, a hipotenusa é m√2.
Um triângulo retângulo isósceles é aquele que possui um ângulo reto (90°) e dois lados iguais (os catetos). Os ângulos agudos medem 45° cada. O maior lado é sempre a hipotenusa, que se opõe ao ângulo reto. A relação entre os lados é fixa: se os catetos medem ℓ, a hipotenusa mede ℓ√2. Isso vem do Teorema de Pitágoras: h² = ℓ² + ℓ² = 2ℓ², logo h = ℓ√2.
A banca explora a confusão entre o triângulo retângulo isósceles (ângulos 45°, 45°, 90°) e o triângulo equilátero (todos os lados iguais) ou o triângulo retângulo com ângulos 30°, 60°, 90°. No triângulo 30-60-90, a hipotenusa é o dobro do cateto menor, e o cateto maior é o menor vezes √3. Já no isósceles, a hipotenusa é o cateto vezes √2. Essa distinção é essencial para não cair nas alternativas 2m ou √3m.
Critério | Triângulo Retângulo Isósceles (45°, 45°, 90°) | Triângulo Retângulo 30°, 60°, 90° |
|---|---|---|
Proporção dos lados (menor → maior) | 1 : 1 : √2 | 1 : √3 : 2 |
Hipotenusa em função do cateto menor | cateto menor × √2 | cateto menor × 2 |
Cateto maior em função do cateto menor | igual ao cateto menor | cateto menor × √3 |
Aplicação na questão (menor lado = m) | maior lado = m√2 (gabarito D) | maior lado = 2m (alternativa A, incorreta) |
2m seria a hipotenusa de um triângulo retângulo com ângulos 30° e 60°, onde o cateto oposto ao ângulo de 30° é a metade da hipotenusa. No triângulo retângulo isósceles, a hipotenusa é menor que 2m (pois √2 ≈ 1,41).
3m não corresponde a nenhuma relação direta entre os lados de um triângulo retângulo isósceles. É um distrator numérico sem fundamento geométrico.
m seria o valor do próprio cateto, não do maior lado. A hipotenusa é sempre maior que qualquer cateto, então não pode ser igual a m.
Pelo Teorema de Pitágoras, se os catetos medem m, a hipotenusa h satisfaz h² = m² + m² = 2m², logo h = m√2. Esse é o maior lado do triângulo.
√3m é a relação entre o cateto maior e o cateto menor em um triângulo retângulo com ângulos 30° e 60° (cateto oposto a 60° = cateto oposto a 30° × √3). Não se aplica ao triângulo isósceles.
Para resolver rapidamente, lembre-se dos dois triângulos retângulos especiais: o isósceles (45°, 45°, 90°) tem lados na proporção 1 : 1 : √2; o 30-60-90 tem lados na proporção 1 : √3 : 2. Se a questão falar em "isósceles", use √2; se falar em ângulos 30° e 60°, use √3 e 2.
Gabarito: letra D
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