Questão de Matemática — Função de 1º Grau ou Função Afim, Problemas com Equação e Inequações — FUNDATEC 2023

Resolução

Gabarito: letra A — a conta chega a A soma das ordenadas é 1, portanto alternativa A..

A ideia por trás

Quando duas curvas se cruzam, os pontos de interseção pertencem às duas ao mesmo tempo. Para encontrá-los, igualamos as expressões de y, pois nesses pontos os valores de y coincidem. Isso gera uma equação que nos dá as abscissas (valores de x) dos pontos de interseção. Depois, substituímos cada x em uma das equações para obter a ordenada (valor de y) correspondente. Nesta questão, precisamos somar apenas os valores de y, não os de x — é aí que mora a pegadinha.

O que a questão dá

• parábola: y = -x^2 + 2x

• reta: y = 2 - x

O que queremos: a soma das ordenadas dos pontos de interseção das duas curvas

Passo 1 — Igualar as duas equações

Nos pontos de interseção, as duas curvas têm o mesmo y. Então, para achar esses pontos, igualamos as expressões de y: -x² + 2x = 2 - x. Isso transforma o problema em uma equação do 2º grau, que vamos resolver.

Por que esta fórmula: Igualar as equações é o método padrão para achar interseções: se um ponto pertence às duas curvas, ele satisfaz as duas equações, então os y são iguais.

De onde vem cada valor: $-x^{2} + 2x$ = enunciado: parábola y = -x^2 + 2x · $2 - x$ = enunciado: reta y = 2 - x

Passo 2 — Reorganizar a equação

Para resolver a equação do 2º grau, precisamos deixá-la na forma padrão ax² + bx + c = 0. Vamos passar todos os termos para um lado e simplificar.

Por que esta fórmula: A forma padrão facilita a aplicação da fórmula de Bhaskara ou fatoração.

De onde vem cada valor: $-x^{2}$ = passo 1: termo -x^2 · $3x$ = passo 1: 2x + x = 3x · $-2$ = passo 1: -2 (constante)

Passo 3 — Multiplicar por -1 para facilitar

A equação tem o coeficiente de x² negativo. Multiplicar por -1 deixa o x² positivo, o que torna a fatoração mais simples e evita erros de sinal.

Por que esta fórmula: Multiplicar por -1 não altera as raízes, apenas inverte os sinais de todos os termos.

De onde vem cada valor: $x^{2}$ = passo 2: -x^2 multiplicado por -1 · $-3x$ = passo 2: 3x multiplicado por -1 · $2$ = passo 2: -2 multiplicado por -1

Passo 4 — Fatorar a equação do 2º grau

Com a equação na forma x² - 3x + 2 = 0, procuramos dois números que somados dão -3 e multiplicados dão 2. Esses números são -1 e -2, então fatoramos como (x - 1)(x - 2).

Por que esta fórmula: A fatoração é mais rápida que Bhaskara quando os coeficientes são pequenos e as raízes são inteiras.

De onde vem cada valor: $x - 1$ = fator correspondente à raiz x = 1 · $x - 2$ = fator correspondente à raiz x = 2

Passo 5 — Encontrar as abscissas

Para que o produto seja zero, um dos fatores deve ser zero. Assim, x - 1 = 0 ou x - 2 = 0, resultando em x = 1 e x = 2.

Por que esta fórmula: A propriedade do produto nulo: se a·b = 0, então a = 0 ou b = 0.

De onde vem cada valor: $x = 1$ = passo 4: x - 1 = 0 · $x = 2$ = passo 4: x - 2 = 0

x = 1 e x = 2

Passo 6 — Calcular a ordenada para x = 1

Agora que temos as abscissas, precisamos das ordenadas. Substituímos x = 1 na reta y = 2 - x (ou na parábola, o resultado é o mesmo).

Por que esta fórmula: A reta é mais simples de calcular, e como o ponto pertence às duas curvas, o y será igual.

De onde vem cada valor: $2$ = enunciado: reta y = 2 - x · $x$ = passo 5: x = 1

Passo 7 — Calcular a ordenada para x = 2

Falta a segunda ordenada. Substituímos x = 2 na reta.

Por que esta fórmula: Mesma justificativa do passo 6.

De onde vem cada valor: $2$ = enunciado: reta y = 2 - x · $x$ = passo 5: x = 2

Passo 8 — Somar as ordenadas

O enunciado pede a soma das ordenadas, ou seja, dos valores de y. Somamos y = 1 e y = 0.

Por que esta fórmula: Soma direta dos valores encontrados.

De onde vem cada valor: $1$ = passo 6: y = 1 · $0$ = passo 7: y = 0

Resposta: A soma das ordenadas é 1, portanto alternativa A.