Questão de Matemática — Pirâmides — FUNDATEC 2023

Volume de pirâmide inscrita em cubo

Gabarito: letra C. O volume de qualquer pirâmide é um terço do volume do prisma (ou cubo) de mesma base e mesma altura — fórmula $V = \frac{1}{3} \cdot A_b \cdot h$. Como a pirâmide tem base quadrada inscrita no cubo e altura igual à aresta do cubo, sua base coincide com a face do cubo e sua altura com a aresta, logo $V_{pir} = \frac{1}{3} V_{cubo}$.

A relação entre o volume de uma pirâmide e o volume de um prisma de mesma base e mesma altura é um dos resultados mais clássicos da Geometria Espacial. Ela vale para qualquer pirâmide — triangular, quadrangular, hexagonal — e para qualquer prisma, incluindo o cubo. A demonstração usual decompõe um prisma triangular em três pirâmides de volumes iguais, o que mostra que cada pirâmide ocupa exatamente um terço do prisma.

No caso da questão, a pirâmide tem base quadrada inscrita no cubo, ou seja, a base da pirâmide é um quadrado cujos vértices estão sobre a face do cubo. Como o quadrado inscrito em um quadrado (a face do cubo) tem o mesmo lado que a face, a área da base da pirâmide é igual à área da face do cubo: $A_b = a^2$, onde $a$ é a aresta do cubo. A altura da pirâmide é igual à aresta do cubo, $h = a$. Portanto:

A pegadinha aqui é que muitos candidatos confundem a relação com a do cone (que também é $\frac{1}{3}$ do cilindro) ou acham que a pirâmide inscrita teria volume menor por estar "dentro" do cubo — mas, como a base ocupa toda a face e a altura é total, ela preenche exatamente um terço do cubo.

Alternativa A — ❌ Incorreta

Afirma que os volumes são iguais. Isso só ocorreria se a pirâmide tivesse o mesmo volume do cubo, o que é impossível, pois a pirâmide está contida no cubo e ocupa apenas uma fração dele. O volume da pirâmide é sempre menor que o do cubo.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Afirma que o volume da pirâmide é a metade do volume do cubo. A fração correta é $\frac{1}{3}$, não $\frac{1}{2}$. A metade seria o volume de um prisma de mesma base e altura, não de uma pirâmide.

Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO

O volume da pirâmide é um terço do volume do cubo. Como demonstrado, $V_{pir} = \frac{1}{3} A_b h = \frac{1}{3} a^2 \cdot a = \frac{a^3}{3}$, e o volume do cubo é $a^3$. Portanto, a relação é exatamente $\frac{1}{3}$.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Afirma que o volume da pirâmide é o dobro do volume do cubo. Isso é absurdo, pois a pirâmide está contida no cubo, logo seu volume não pode ser maior que o do cubo. O dobro seria $2V_{cubo}$, o que contraria a própria definição de inscrição.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Afirma que o volume da pirâmide é um quarto do volume do cubo. A fração correta é $\frac{1}{3}$, não $\frac{1}{4}$. Um quarto seria o volume de um prisma com base de área $\frac{3}{4}$ da face, o que não é o caso.

Gabarito: letra C