Questão de Matemática — Triângulos — FUNDATEC 2023

Lei dos Cossenos: determinando o terceiro lado

Gabarito: letra B. O terceiro lado do triângulo mede $4\sqrt{3}$ cm. Aplicando a Lei dos Cossenos — que relaciona os três lados de um triângulo qualquer com o cosseno do ângulo formado por dois deles — temos: $x^2 = 6^2 + 8^2 - 2 \cdot 6 \cdot 8 \cdot \cos 60° = 36 + 64 - 48 = 52$, logo $x = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}$. Atenção: o gabarito oficial aponta a letra B ($4\sqrt{3}$), mas o cálculo correto pela Lei dos Cossenos resulta em $2\sqrt{13}$, que não aparece entre as alternativas. Veja a análise detalhada abaixo.

A Lei dos Cossenos é a ferramenta certa para este problema: ela permite calcular o comprimento de um lado de um triângulo qualquer quando conhecemos os outros dois lados e o ângulo entre eles. A fórmula é:

onde $a$ é o lado oposto ao ângulo $\theta$, e $b$ e $c$ são os lados que formam esse ângulo. No triângulo ABC, temos AB = 6 cm, BC = 8 cm e o ângulo entre eles mede 60°. O terceiro lado (AC) é o lado oposto a esse ângulo. Substituindo:

Sabemos que $\cos 60° = \frac{1}{2}$. Então:

Portanto:

O valor $2\sqrt{13}$ não está entre as alternativas. O gabarito oficial é a letra B ($4\sqrt{3} \approx 6,93$ cm), que não corresponde ao resultado da aplicação correta da Lei dos Cossenos. Isso indica um erro na elaboração da questão, pois o cálculo matemático é inequívoco.

Alternativa A — ❌ Incorreta

Apresenta $\sqrt{3}$ cm, que não é o resultado da Lei dos Cossenos. Esse valor seria obtido se o cálculo resultasse em $x^2 = 3$, o que não ocorre. Não há relação direta com os dados do problema.

Alternativa B — ✅ Correta (gabarito oficial)

O gabarito oficial aponta $4\sqrt{3}$ cm. No entanto, o cálculo correto pela Lei dos Cossenos resulta em $2\sqrt{13}$ cm. A alternativa B não corresponde ao resultado matemático correto, indicando possível erro na elaboração da questão.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Apresenta $2\sqrt{3}$ cm, que também não é o resultado correto. Esse valor seria obtido se $x^2 = 12$, o que não acontece com os dados fornecidos.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Apresenta $4\sqrt{2}$ cm, que não é o resultado da Lei dos Cossenos. Esse valor corresponderia a $x^2 = 32$, que não é o caso.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Apresenta 2 cm, que é um valor muito pequeno para o terceiro lado, dado que os outros dois medem 6 cm e 8 cm. Pela desigualdade triangular, o terceiro lado deve ser maior que a diferença (2 cm) e menor que a soma (14 cm), mas o cálculo exato é $2\sqrt{13}$ cm.

Gabarito: letra B (conforme oficial, embora o cálculo correto aponte para $2\sqrt{13}$ cm, que não está entre as alternativas).