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Questão de Matemática — Funções — FUNDATEC 2023

MatemáticaFunções
Código
qq899134
Banca
FUNDATEC
Órgão
Prefeitura de Coronel Pilar - RS
Ano
2023
Nível
Médio
Cargo
Auxiliar de Educação Infantil
Analise as afirmações abaixo, considerando a função real 𝑓(𝑥) = −𝑥² − 2𝑥 + 3.1. O gráfico da função é uma parábola com concavidade voltada para baixo.2. O ponto de mínimo da função ocorre no ponto (-1,4).3. 𝑓(−4) = 𝑓(2).4. O gráfico da função corta o eixo x em um único ponto.5. 𝑓(√5) = −2(√5 + 1).O resultado da somatória dos números correspondentes às afirmações corretas é:
  1. A06.
  2. B07.
  3. C08.
  4. D09.
  5. E10.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoD — 09.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra D — a conta chega a 9 (letra D).

A ideia por trás

A função quadrática f(x) = ax² + bx + c é uma parábola. O coeficiente a determina a concavidade: se a > 0, a parábola abre para cima e o vértice é ponto de mínimo; se a < 0, abre para baixo e o vértice é ponto de máximo. O vértice tem abscissa x_v = -b/(2a) e ordenada y_v = f(x_v). As raízes são dadas por x = (-b ± √Δ)/(2a), onde Δ = b² - 4ac; se Δ > 0 há duas raízes reais distintas, se Δ = 0 uma raiz dupla, se Δ < 0 nenhuma raiz real. Nesta questão, precisamos analisar cada afirmação: verificar a concavidade, o vértice, calcular valores da função e o discriminante.

O que a questão dá

  • função f(x) = -x² - 2x + 3

  • afirmações 1 a 5

O que queremos: a soma dos números das afirmações corretas

Passo 1 — Identificar o coeficiente a

A concavidade da parábola é definida pelo sinal de a. Precisamos saber se a é positivo ou negativo para julgar a afirmação 1.

a=−1a = \boxed{-1}
NÃO CAIA NESSA!

Confundir o sinal: a = -1, não +1.

Passo 2 — Julgar a concavidade

Com a = -1 < 0, a parábola tem concavidade para baixo. Isso confirma a afirmação 1 como correta.

afirmac\ca~o1correta\boxed{\text{afirma}çã\text{o} 1 \text{correta}}
NÃO CAIA NESSA!

Achar que a negativo dá concavidade para cima.

Passo 3 — Calcular a abscissa do vértice

Para julgar a afirmação 2, precisamos do vértice. A abscissa é x_v = -b/(2a).

Por que esta fórmula: O vértice é o ponto extremo da parábola; sua abscissa é dada por essa fórmula, que vem da derivada ou da simetria da parábola.

xv=−b2ax_v = -\frac{b}{2a}

De onde vem cada valor: bb = enunciado: -2 · aa = passo 1: -1

xv=−−22⋅(−1)x_v = -\frac{-2}{2 \cdot (-1)}
xv=−1x_v = \boxed{-1}
NÃO CAIA NESSA!

Errar o sinal: -b = 2, mas dividir por 2a = -2 dá -1.

Passo 4 — Calcular a ordenada do vértice

Com x_v = -1, calculamos y_v = f(-1) para obter o ponto do vértice.

Por que esta fórmula: A ordenada do vértice é o valor da função na abscissa do vértice.

yv=f(xv)y_v = f(x_v)

De onde vem cada valor: xvx_v = passo 3: -1

yv=−(−1)2−2(−1)+3y_v = -(-1)^{2} - 2(-1) + 3
yv=4y_v = \boxed{4}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de aplicar o sinal: -(-1)^2 = -1, não +1.

Passo 5 — Julgar o tipo de vértice

Como a < 0, o vértice é ponto de máximo, não de mínimo. Portanto, a afirmação 2 está incorreta.

afirmac\ca~o2incorreta\boxed{\text{afirma}çã\text{o} 2 \text{incorreta}}
NÃO CAIA NESSA!

Confundir máximo com mínimo quando a < 0.

Passo 6 — Calcular f(-4) e f(2)

Para julgar a afirmação 3, precisamos calcular os valores da função nesses pontos.

Por que esta fórmula: Substituímos x na expressão da função.

f(x)=−x2−2x+3f(x) = -x^{2} - 2x + 3

De onde vem cada valor: xx = enunciado: -4 e 2

f(−4)=−(−4)2−2(−4)+3=−16+8+3=−5;f(2)=−(2)2−2(2)+3=−4−4+3=−5f(-4) = -(-4)^{2} - 2(-4) + 3 = -16 + 8 + 3 = -5; f(2) = -(2)^{2} - 2(2) + 3 = -4 - 4 + 3 = -5

f(-4) = f(2) = -5

NÃO CAIA NESSA!

Errar o sinal ao calcular -(-4)^2: é -16, não +16.

Passo 7 — Julgar a igualdade

Como f(-4) = f(2) = -5, a afirmação 3 é correta.

afirmac\ca~o3correta\boxed{\text{afirma}çã\text{o} 3 \text{correta}}
NÃO CAIA NESSA!

Achar que são diferentes por serem pontos distintos.

Passo 8 — Calcular o discriminante

Para julgar a afirmação 4, precisamos saber quantas raízes reais a função tem, o que é dado pelo sinal de Δ.

Por que esta fórmula: O discriminante Δ = b² - 4ac indica o número de raízes reais da equação quadrática.

Δ=b2−4ac\Delta = b^{2} - 4ac

De onde vem cada valor: bb = enunciado: -2 · aa = passo 1: -1 · cc = enunciado: 3

Δ=(−2)2−4⋅(−1)⋅3=4+12=16\Delta = (-2)^{2} - 4 \cdot (-1) \cdot 3 = 4 + 12 = 16
Δ=16\Delta = \boxed{16}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer o sinal de a: 4ac = 4·(-1)·3 = -12, mas com o sinal de menos fica +12.

Passo 9 — Julgar o número de raízes

Como Δ > 0, a função tem duas raízes reais distintas, então o gráfico corta o eixo x em dois pontos. A afirmação 4 é incorreta.

afirmac\ca~o4incorreta\boxed{\text{afirma}çã\text{o} 4 \text{incorreta}}
NÃO CAIA NESSA!

Achar que Δ > 0 dá uma única raiz.

Passo 10 — Calcular f(√5)

Para julgar a afirmação 5, precisamos calcular o valor da função em √5.

Por que esta fórmula: Substituímos x = √5 na expressão da função.

f(x)=−x2−2x+3f(x) = -x^{2} - 2x + 3

De onde vem cada valor: xx = enunciado: √5

f(5)=−(5)2−25+3=−5−25+3=−2−25=−2(1+5)=−2(5+1)f(\sqrt{5}) = -(\sqrt{5})^{2} - 2\sqrt{5} + 3 = -5 - 2\sqrt{5} + 3 = -2 - 2\sqrt{5} = -2(1 + \sqrt{5}) = -2(\sqrt{5} + 1)
f(5)=−2 (√5+1)f(\sqrt{5}) = \boxed{-2\ (√5 + 1)}
NÃO CAIA NESSA!

Errar o sinal ao simplificar: -5 + 3 = -2, não -8.

Passo 11 — Julgar a afirmação 5

O valor calculado coincide com a expressão dada, então a afirmação 5 é correta.

afirmac\ca~o5correta\boxed{\text{afirma}çã\text{o} 5 \text{correta}}
NÃO CAIA NESSA!

Não reconhecer a igualdade após a fatoração.

Passo 12 — Somar as afirmações corretas

As corretas são 1, 3 e 5. Somamos esses números para obter a resposta.

S=1+3+5S = 1 + 3 + 5

De onde vem cada valor: 11 = passo 2 · 33 = passo 7 · 55 = passo 11

S=1+3+5S = 1 + 3 + 5
S=9S = \boxed{9}
NÃO CAIA NESSA!

Incluir a afirmação 2 ou 4 por engano.

Resposta: 9 (letra D)

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