Matemática · FUNDATEC · 2023 | Questão sqc-qq899137

Resolução

Gabarito: letra A — a conta chega a 12 litros (alternativa A).

A ideia por trás

O Máximo Divisor Comum (MDC) é o maior número que divide exatamente dois ou mais números. Ele é usado quando queremos dividir quantidades em partes iguais e do maior tamanho possível, como cortar cordas em pedaços iguais ou encher barris com o mesmo volume. O MDC é calculado fatorando cada número em primos e multiplicando os fatores comuns com os menores expoentes. Nesta questão, precisamos encontrar a maior capacidade de barril que divida exatamente os três volumes, pois isso minimiza o número de barris.

O que a questão dá

Merlot = 108 litros
Tannat = 96 litros
Cabernet = 72 litros

O que queremos: a capacidade de cada barril para que o número de barris seja o menor possível

Passo 1 — Fatorar cada volume em primos

Para calcular o MDC, precisamos da decomposição em fatores primos de cada número. Isso revela quais fatores são comuns e com quais expoentes.

Por que esta fórmula: A fatoração em primos é a base para achar o MDC: escrevemos cada número como produto de primos e depois pegamos os fatores comuns com o menor expoente.

108 = 2^{2} \times 3^{3}, \quad 96 = 2^{5} \times 3, \quad 72 = 2^{3} \times 3^{2}

De onde vem cada valor: $108$ = enunciado: 108 litros de Merlot · $96$ = enunciado: 96 litros de Tannat · $72$ = enunciado: 72 litros de Cabernet

108 = 2^{2} \times 3^{3}, \quad 96 = 2^{5} \times 3, \quad 72 = 2^{3} \times 3^{2}

108 = 2² × 3³, 96 = 2⁵ × 3, 72 = 2³ × 3²

NÃO CAIA NESSA!

Errar a fatoração, por exemplo, escrever 96 = 2⁴ × 6 (6 não é primo).

Passo 2 — Identificar os fatores comuns com menores expoentes

O MDC é formado apenas pelos fatores que aparecem em todos os números, elevados ao menor expoente que aparece. Isso garante que o divisor seja comum e o maior possível.

Por que esta fórmula: A regra do MDC: para cada primo que aparece em todas as fatorações, escolhemos o menor expoente. Aqui, o 2 aparece com expoentes 2, 5 e 3 → menor é 2; o 3 aparece com expoentes 3, 1 e 2 → menor é 1.

MDC = 2^{\min(2{,}5,3)} \times 3^{\min(3{,}1,2)} = 2^{2} \times 3^{1}

De onde vem cada valor: $2^{\min(2{,}5,3)}$ = passo 1: expoentes de 2 em 108, 96 e 72 · $3^{\min(3{,}1,2)}$ = passo 1: expoentes de 3 em 108, 96 e 72

MDC = 2^{2} \times 3^{1} = \boxed{2\ ^{2} \times 3}

NÃO CAIA NESSA!

Pegar o maior expoente em vez do menor, o que daria um número que não divide todos.

Passo 3 — Calcular o produto dos fatores comuns

Agora que temos os fatores comuns com os menores expoentes, basta multiplicá-los para obter o MDC, que é a capacidade máxima de cada barril.

Por que esta fórmula: O MDC é o produto dos fatores comuns com os menores expoentes. Multiplicar 2² por 3 dá 12, que é o maior número que divide 108, 96 e 72.

MDC = 2^{2} \times 3 = 4 \times 3

De onde vem cada valor: $2^{2}$ = passo 2: fator comum 2 com expoente 2 · $3$ = passo 2: fator comum 3 com expoente 1

MDC = 4 \times 3 = \boxed{12\ \text{litros}}

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de multiplicar os fatores, ou errar a potência (ex.: 2³ × 3 = 24, que não divide 96).

Resposta: 12 litros (alternativa A)

Questão de Matemática — Aritmética e Problemas — FUNDATEC 2023

Resolução

A ideia por trás

O que a questão dá

Passo 1 — Fatorar cada volume em primos

Passo 2 — Identificar os fatores comuns com menores expoentes

Passo 3 — Calcular o produto dos fatores comuns