Questão de Matemática — Geometria Analítica — FUNDATEC 2023

Geometria Analítica: Retas Perpendiculares e Interseção

Gabarito: letra D. A reta r, perpendicular a s, tem coeficiente angular $m_r = \frac{3}{2}$ (pois o coeficiente de s é $-\frac{2}{3}$ e o produto dos coeficientes de retas perpendiculares é $-1$). Ela passa pelo ponto de interseção de t e w, que é $(-5, 2)$. Substituindo na equação reduzida $y = mx + n$, obtemos $n = -\frac{21}{2}$, resultando em $y = \frac{3}{2}x - \frac{21}{2}$.

Para resolver, precisamos de três passos: encontrar o ponto de interseção das retas t e w, determinar o coeficiente angular da reta perpendicular a s e, por fim, montar a equação da reta r.

1. Ponto de interseção de t e w:

Temos o sistema:

$\begin{cases} 5x + 7y - 4 = 0 \\ x + 2y + 1 = 0 \end{cases}$

Da segunda equação, isolamos $x = -2y - 1$. Substituindo na primeira:

$5(-2y - 1) + 7y - 4 = 0 \Rightarrow -10y - 5 + 7y - 4 = 0 \Rightarrow -3y - 9 = 0 \Rightarrow y = -3$

Substituindo $y = -3$ em $x = -2y - 1$:

$x = -2(-3) - 1 = 6 - 1 = 5$

Portanto, o ponto de interseção é $P = (5, -3)$.

2. Coeficiente angular da reta r:

A reta s tem equação $2x + 3y - 8 = 0$. Isolando y, obtemos sua forma reduzida:

$3y = -2x + 8 \Rightarrow y = -\frac{2}{3}x + \frac{8}{3}$

O coeficiente angular de s é $m_s = -\frac{2}{3}$. Para que duas retas sejam perpendiculares, o produto de seus coeficientes angulares deve ser $-1$:

$m_r \cdot m_s = -1 \Rightarrow m_r \cdot \left(-\frac{2}{3}\right) = -1 \Rightarrow m_r = \frac{3}{2}$

3. Equação da reta r:

A reta r tem coeficiente angular $m_r = \frac{3}{2}$ e passa pelo ponto $P = (5, -3)$. Usando a equação fundamental da reta:

$y - y_0 = m(x - x_0)$

$y - (-3) = \frac{3}{2}(x - 5)$

$y + 3 = \frac{3}{2}x - \frac{15}{2}$

$y = \frac{3}{2}x - \frac{15}{2} - 3$

$y = \frac{3}{2}x - \frac{15}{2} - \frac{6}{2}$

$y = \frac{3}{2}x - \frac{21}{2}$

Alternativa A — ❌ Incorreta

O coeficiente angular $-\frac{3}{2}$ é o oposto do correto. A banca trocou o sinal: em vez de $+\frac{3}{2}$, usou $-\frac{3}{2}$. Além disso, o termo independente $-\frac{21}{2}$ está correto, mas como o coeficiente angular está errado, a reta não é perpendicular a s.

Alternativa B — ❌ Incorreta

O coeficiente angular $-\frac{2}{3}$ é o mesmo da reta s, o que tornaria r paralela a s, não perpendicular. O termo independente $+1$ também não corresponde ao ponto de interseção.

Alternativa C — ❌ Incorreta

O coeficiente angular $-\frac{3}{2}$ está com o sinal trocado (deveria ser $+\frac{3}{2}$). O termo independente $-\frac{15}{2}$ seria o valor de $n$ se o ponto usado fosse $(5, 0)$, mas o ponto correto é $(5, -3)$.

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

O coeficiente angular $\frac{3}{2}$ é o correto para a perpendicularidade com s, e o termo independente $-\frac{21}{2}$ é obtido ao substituir o ponto de interseção $(5, -3)$ na equação. A reta $y = \frac{3}{2}x - \frac{21}{2}$ satisfaz todas as condições do enunciado.

Alternativa E — ❌ Incorreta

O coeficiente angular $\frac{3}{2}$ está correto, mas o termo independente $-\frac{15}{2}$ é o resultado de um erro de cálculo: ao substituir o ponto $(5, -3)$, o correto é $-\frac{21}{2}$, não $-\frac{15}{2}$.

Gabarito: letra D