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Questão de Matemática — Raciocínio Lógico — FUNDATEC 2023

MatemáticaRaciocínio Lógico
Código
qq899238
Banca
FUNDATEC
Órgão
Prefeitura de Coronel Pilar - RS
Ano
2023
Nível
Superior
Cargo
Professor de Ensino Fundamental - Anos Finais - Matemática
Uma das bebidas mais apreciadas no mundo é o café. Ele pode ser consumido de trés modos diferentes: frio (em drinks com ou sem álcool, em temperatura ambiente (puro ou em doces) ou ainda, na sua versão mais comum: a quente. Uma pesquisa realizada com 250 pessoas revelou que:• 54 pessoas gostam de café frio.• 81 pessoas gostam do café em temperatura ambiente.• 12 pessoas gostam do café frio e do café quente.• 14 pessoas gostam do café em temperatura ambiente e frio.• 20 pessoas gostam do café quente e em temperatura ambiente.• Apenas 8 pessoas gostam do café nas trés versoes.• 51 pessoas ndo gostam de café de nenhuma forma.Nessa pesquisa, o nimero de pessoas que gostam apenas de café quente é:
  1. A36.
  2. B55.
  3. C62.
  4. D78.
  5. E102.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoD — 78.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra D — a conta chega a 78 pessoas (alternativa D).

A ideia por trás

Quando uma pesquisa pergunta quantas pessoas gostam de cada coisa, os números dados costumam incluir quem gosta de mais de uma. Por exemplo, quem gosta de café frio e quente está dentro do total de quem gosta de frio e também dentro do total de quem gosta de quente. Para não contar ninguém duas vezes, usamos o diagrama de Venn: cada pessoa fica em uma única região, e as regiões são separadas pelas interseções. A regra é começar de dentro para fora: primeiro a interseção tripla, depois as duplas, e só então as regiões de quem gosta de apenas uma forma. No final, a soma de todas as regiões mais quem não gosta de nada deve dar o total de pesquisados. Nesta questão, precisamos achar a região 'apenas quente', que é uma das três regiões exclusivas, e para isso montamos o diagrama inteiro.

O que a questão dá

  • total de pessoas pesquisadas = 250

  • gostam de café frio = 54

  • gostam de café em temperatura ambiente = 81

  • gostam de frio e quente = 12

  • gostam de ambiente e frio = 14

  • gostam de quente e ambiente = 20

  • gostam das três versões = 8

  • não gostam de café de nenhuma forma = 51

O que queremos: o número de pessoas que gostam apenas de café quente

Passo 1 — Desenhar o diagrama de Venn

Antes de qualquer conta, precisamos visualizar as três categorias (frio, ambiente, quente) e suas interseções. O diagrama de Venn mostra cada pessoa em uma única região, então é ele que evita contar a mesma pessoa várias vezes.

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de desenhar as três interseções duplas e a tripla — sem elas, as contas não fecham.

Passo 2 — Calcular as interseções duplas exclusivas

Os valores dados para as interseções duplas (12, 14, 20) incluem as 8 pessoas que gostam das três versões. Para saber quantas gostam apenas de duas versões, precisamos subtrair a tripla de cada dupla.

Por que esta fórmula: Cada interseção dupla é formada por quem gosta daquelas duas versões, mas dentro dela há um subgrupo que também gosta da terceira. Subtraindo a tripla, ficamos só com quem gosta exatamente daquelas duas.

napenas A∩B=nA∩B−nA∩B∩Cn_{apenas\,A\cap B} = n_{A\cap B} - n_{A\cap B\cap C}

De onde vem cada valor: nA∩Bn_{A\cap B} = enunciado: 12, 14, 20 · nA∩B∩Cn_{A\cap B\cap C} = enunciado: 8

12−8=4,14−8=6,20−8=1212 - 8 = 4,\quad 14 - 8 = 6,\quad 20 - 8 = 12

napenas A∩Bn_{apenas\,A\cap B} = 4 (frio∩quente), 6 (ambiente∩frio), 12 (quente∩ambiente)

NÃO CAIA NESSA!

Usar os valores 12, 14, 20 diretamente como regiões exclusivas, sem subtrair a tripla — isso conta as 8 pessoas três vezes.

Passo 3 — Calcular quem gosta apenas de frio

Agora que sabemos as interseções duplas exclusivas, podemos tirar do total de cada categoria tudo o que não é exclusivo. Começamos pelo frio, porque temos todos os dados.

Por que esta fórmula: O total de quem gosta de frio (54) inclui quem gosta só de frio, quem gosta de frio e quente (4), quem gosta de ambiente e frio (6) e quem gosta dos três (8). Subtraindo esses três grupos, sobra apenas quem gosta só de frio.

napenas F=nF−nF∩Q−nA∩F−nF∩A∩Qn_{apenas\,F} = n_{F} - n_{F\cap Q} - n_{A\cap F} - n_{F\cap A\cap Q}

De onde vem cada valor: nFn_{F} = enunciado: 54 · nF∩Qn_{F\cap Q} = passo 2: 4 · nA∩Fn_{A\cap F} = passo 2: 6 · nF∩A∩Qn_{F\cap A\cap Q} = enunciado: 8

54−4−6−8=36=36 pessoas54 - 4 - 6 - 8 = 36 = \boxed{36\ \text{pessoas}}
NÃO CAIA NESSA!

Subtrair apenas a tripla (54-8=46) e esquecer as duplas — isso conta quem gosta de frio com outra versão como se fosse só frio.

Passo 4 — Calcular quem gosta apenas de ambiente

Mesma lógica do passo anterior, agora para a categoria ambiente. Precisamos desse valor para somar todas as regiões depois.

Por que esta fórmula: O total de ambiente (81) inclui quem gosta só de ambiente, quem gosta de ambiente e frio (6), quem gosta de quente e ambiente (12) e quem gosta dos três (8). Subtraindo, sobra só ambiente.

napenas A=nA−nA∩F−nQ∩A−nF∩A∩Qn_{apenas\,A} = n_{A} - n_{A\cap F} - n_{Q\cap A} - n_{F\cap A\cap Q}

De onde vem cada valor: nAn_{A} = enunciado: 81 · nA∩Fn_{A\cap F} = passo 2: 6 · nQ∩An_{Q\cap A} = passo 2: 12 · nF∩A∩Qn_{F\cap A\cap Q} = enunciado: 8

81−6−12−8=55=55 pessoas81 - 6 - 12 - 8 = 55 = \boxed{55\ \text{pessoas}}
NÃO CAIA NESSA!

Confundir a ordem das subtrações — mas a ordem não importa, desde que subtraia os três valores.

Passo 5 — Montar a equação do total

Já temos todas as regiões do diagrama, exceto a que queremos (apenas quente). A soma de todas as regiões mais quem não gosta de nada deve ser 250, então essa igualdade nos dá a incógnita.

Por que esta fórmula: O total de pesquisados é a soma de todas as regiões do diagrama (cada pessoa cai em exatamente uma região) mais os que não gostam de nenhuma forma. Isolando x, encontramos o valor procurado.

napenas F+napenas A+x+nF∩Q+nA∩F+nQ∩A+ntripla+nnenhuma=250n_{apenas\,F} + n_{apenas\,A} + x + n_{F\cap Q} + n_{A\cap F} + n_{Q\cap A} + n_{tripla} + n_{nenhuma} = 250

De onde vem cada valor: napenas Fn_{apenas\,F} = passo 3: 36 · napenas An_{apenas\,A} = passo 4: 55 · xx = incógnita: apenas quente · nF∩Qn_{F\cap Q} = passo 2: 4 · nA∩Fn_{A\cap F} = passo 2: 6 · nQ∩An_{Q\cap A} = passo 2: 12 · ntriplan_{tripla} = enunciado: 8 · nnenhuman_{nenhuma} = enunciado: 51

36+55+x+4+6+12+8+51=25036 + 55 + x + 4 + 6 + 12 + 8 + 51 = 250
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de somar as interseções duplas ou a tripla — isso diminui o total e dá x errado.

Passo 6 — Isolar e calcular x

A equação do passo anterior tem uma única incógnita. Somando os números conhecidos e subtraindo do total, encontramos quantas pessoas gostam apenas de café quente.

Por que esta fórmula: Para isolar x, somamos todos os valores conhecidos e subtraímos de 250. Isso é a operação inversa da adição.

x=250−(36+55+4+6+12+8+51)x = 250 - (36 + 55 + 4 + 6 + 12 + 8 + 51)

De onde vem cada valor: 250250 = enunciado: total de pesquisados · 3636 = passo 3 · 5555 = passo 4 · 44 = passo 2 · 66 = passo 2 · 1212 = passo 2 · 88 = enunciado · 5151 = enunciado

x=250−172=78=78 pessoasx = 250 - 172 = 78 = \boxed{78\ \text{pessoas}}
NÃO CAIA NESSA!

Errar a soma dos conhecidos (por exemplo, esquecer o 51) — confira cada parcela.

Resposta: 78 pessoas (alternativa D)

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