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Questão de Matemática — Geral — FUNDATEC 2023

MatemáticaGeral
Código
qq899255
Banca
FUNDATEC
Órgão
Prefeitura de Coronel Pilar - RS
Ano
2023
Nível
Superior
Cargo
Psicólogo

Quais os pontos em comum das funções reais apresentadas abaixo?


𝑓(𝑥) = −𝑥2 − 2𝑥 + 3 e 𝑔(𝑥) = 1 − x

  1. A(-2,3) e (1,0).
  2. B(2,-1) e (-1,2).
  3. C(3,-2) e (0,1).
  4. D(-2,1) e (1,-2).
  5. E(3,0) e (0,1).
Revelar gabarito e comentário

GabaritoA — (-2,3) e (1,0).

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Pontos de interseção entre uma função quadrática e uma função afim

Gabarito: letra A. Os pontos em comum entre f(x)=−x2−2x+3f(x) = -x^2 - 2x + 3 e g(x)=1−xg(x) = 1 - x são obtidos igualando as duas funções e resolvendo a equação resultante. A solução do sistema leva aos pontos (−2,3)(-2, 3) e (1,0)(1, 0), que são exatamente os pares ordenados da alternativa A.

Para encontrar os pontos em que duas funções se intersectam, basta igualar as expressões: f(x)=g(x)f(x) = g(x). Isso porque, num ponto de interseção, ambas as funções assumem o mesmo valor de yy para o mesmo valor de xx. Vamos aplicar isso ao caso:

−x2−2x+3=1−x-x^2 - 2x + 3 = 1 - x

Passando todos os termos para o lado esquerdo:

−x2−2x+3−1+x=0-x^2 - 2x + 3 - 1 + x = 0
−x2−x+2=0-x^2 - x + 2 = 0

Multiplicando por −1-1 para facilitar:

x2+x−2=0x^2 + x - 2 = 0

Agora resolvemos a equação do 2º grau. Podemos usar a fórmula de Bhaskara ou fatoração. Fatorando:

(x+2)(x−1)=0(x + 2)(x - 1) = 0

Assim, as raízes são x=−2x = -2 e x=1x = 1. Para encontrar os respectivos valores de yy, substituímos em qualquer uma das funções. Usando g(x)=1−xg(x) = 1 - x:

  • Para x=−2x = -2: y=1−(−2)=3y = 1 - (-2) = 3 → ponto (−2,3)(-2, 3)

  • Para x=1x = 1: y=1−1=0y = 1 - 1 = 0 → ponto (1,0)(1, 0)

Portanto, os pontos em comum são (−2,3)(-2, 3) e (1,0)(1, 0).

  1. 1Igualar f(x) = g(x)
  2. 2Resolver equação do 2º grau
  3. 3Substituir x em g(x)
  4. 4Obter pares ordenados
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Alternativa A — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Apresenta exatamente os pontos (−2,3)(-2, 3) e (1,0)(1, 0), que são as soluções do sistema formado pelas duas funções. A resolução acima confirma que esses são os únicos pontos de interseção.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Os pontos (2,−1)(2, -1) e (−1,2)(-1, 2) não satisfazem a igualdade f(x)=g(x)f(x) = g(x). Por exemplo, para x=2x = 2, g(2)=1−2=−1g(2) = 1 - 2 = -1, mas f(2)=−4−4+3=−5f(2) = -4 - 4 + 3 = -5, que é diferente de −1-1. Portanto, não são pontos comuns.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Os pontos (3,−2)(3, -2) e (0,1)(0, 1) não são soluções. Para x=3x = 3, g(3)=1−3=−2g(3) = 1 - 3 = -2, mas f(3)=−9−6+3=−12f(3) = -9 - 6 + 3 = -12, diferente de −2-2. Para x=0x = 0, g(0)=1g(0) = 1, mas f(0)=3f(0) = 3, diferente de 11.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Os pontos (−2,1)(-2, 1) e (1,−2)(1, -2) estão com os valores de yy trocados. Para x=−2x = -2, o valor correto de yy é 33, não 11; para x=1x = 1, o valor correto é 00, não −2-2. A banca inverteu as coordenadas.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Os pontos (3,0)(3, 0) e (0,1)(0, 1) não são soluções. Para x=3x = 3, g(3)=−2g(3) = -2, não 00; para x=0x = 0, g(0)=1g(0) = 1, mas f(0)=3f(0) = 3, não 11.

NÃO CAIA NESSA!

A banca explora a confusão entre os valores de xx e yy: em algumas alternativas, os números corretos aparecem, mas em posições trocadas (como na letra D). Sempre verifique se o par ordenado satisfaz ambas as funções, substituindo o xx e conferindo se o yy bate.

PEGA ESSA DICA!

Para questões de interseção de funções, o método é sempre o mesmo: iguale as expressões, resolva a equação resultante e substitua os valores de xx encontrados em uma das funções para obter os yy. Treine com funções quadráticas e afins para ganhar agilidade.

Gabarito: letra A

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