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Questão de Matemática — Trigonometria — FUNDATEC 2023

MatemáticaTrigonometria
Código
qq899972
Banca
FUNDATEC
Órgão
Prefeitura de Espumoso - RS
Ano
2023
Nível
Superior
Cargo
Professor de Séries Finais - Matemática
Os pontos (0,0), (3,0) e (2,2) são vértices de um triângulo no plano de área:
  1. A1.
  2. B2.
  3. C3.
  4. D4.
  5. E5.
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GabaritoC — 3.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra C — a conta chega a 3 unidades de área (alternativa C).

A ideia por trás

A área de um triângulo no plano cartesiano pode ser calculada de duas formas: pela geometria clássica (base vezes altura dividido por 2) ou pela fórmula do determinante, que usa as coordenadas dos três vértices. A fórmula do determinante é A=12∣x1(y2−y3)+x2(y3−y1)+x3(y1−y2)∣A = \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|, onde (x1,y1)(x_1, y_1), (x2,y2)(x_2, y_2) e (x3,y3)(x_3, y_3) são os vértices. Essa expressão vem do produto vetorial e dá sempre um valor positivo (por causa do módulo), representando a área. Ela é útil porque funciona para qualquer posição dos pontos, mesmo quando o triângulo não tem base paralela aos eixos. Nesta questão, temos três pontos dados e queremos a área; podemos aplicar a fórmula diretamente, ou perceber que a base é o segmento de (0,0) a (3,0) e a altura é a distância do terceiro ponto ao eixo x.

O que a questão dá

  • vértice A = (0, 0)

  • vértice B = (3, 0)

  • vértice C = (2, 2)

O que queremos: a área do triângulo formado por esses pontos

Passo 1 — Identificar os vértices

Precisamos nomear os pontos para substituir na fórmula da área. Vamos chamar A(0,0), B(3,0) e C(2,2).

NÃO CAIA NESSA!

Confundir a ordem dos pontos, mas a fórmula é simétrica, então não afeta o resultado.

Passo 2 — Montar a fórmula da área

A fórmula do determinante é a ferramenta direta para calcular a área a partir das coordenadas. Ela evita ter que desenhar e medir, e funciona sempre.

Por que esta fórmula: Existem duas formas: base vezes altura ou determinante. Como os pontos estão dados, a fórmula do determinante é a mais direta e não exige identificar base e altura.

A=12∣x1(y2−y3)+x2(y3−y1)+x3(y1−y2)∣A = \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|

De onde vem cada valor: x1x_1 = passo 1: A(0,0) · y1y_1 = passo 1: A(0,0) · x2x_2 = passo 1: B(3,0) · y2y_2 = passo 1: B(3,0) · x3x_3 = passo 1: C(2,2) · y3y_3 = passo 1: C(2,2)

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer o módulo, o que poderia dar área negativa, mas a área é sempre positiva.

Passo 3 — Substituir as coordenadas

Agora que temos a fórmula, precisamos colocar os números no lugar das letras para calcular. Cada par ordenado entra na posição correspondente.

Por que esta fórmula: É a aplicação direta da fórmula do passo anterior.

A=12∣0⋅(0−2)+3⋅(2−0)+2⋅(0−0)∣A = \frac{1}{2} |0 \cdot (0 - 2) + 3 \cdot (2 - 0) + 2 \cdot (0 - 0)|

De onde vem cada valor: 00 = passo 1: x_1 = 0 · (0−2)(0 - 2) = passo 1: y_2 = 0, y_3 = 2 · 33 = passo 1: x_2 = 3 · (2−0)(2 - 0) = passo 1: y_3 = 2, y_1 = 0 · 22 = passo 1: x_3 = 2 · (0−0)(0 - 0) = passo 1: y_1 = 0, y_2 = 0

A=12∣0⋅(−2)+3⋅2+2⋅0∣A = \frac{1}{2} |0 \cdot (-2) + 3 \cdot 2 + 2 \cdot 0|
NÃO CAIA NESSA!

Trocar a ordem dos y na subtração, mas como há módulo, o sinal não importa no final.

Passo 4 — Calcular as multiplicações

Precisamos simplificar a expressão para chegar ao valor do determinante. Cada termo é uma multiplicação simples.

Por que esta fórmula: É a continuação do cálculo: 0 vezes qualquer coisa é 0, 3 vezes 2 é 6, e 2 vezes 0 é 0.

A=12∣0+6+0∣A = \frac{1}{2} |0 + 6 + 0|

De onde vem cada valor: 00 = passo 3: 2 ⋅\cdot 0 · 66 = passo 3: 3 ⋅\cdot 2

A=12∣6∣A = \frac{1}{2} |6|
NÃO CAIA NESSA!

Errar a multiplicação 3×2, mas é 6.

Passo 5 — Aplicar o módulo e dividir por 2

O módulo garante que a área seja positiva, e a divisão por 2 é parte da fórmula. Agora temos o número final.

Por que esta fórmula: A fórmula original tem o 1/2 multiplicando o módulo do determinante. O determinante deu 6, então a área é metade de 6.

A=12⋅6A = \frac{1}{2} \cdot 6

De onde vem cada valor: 66 = passo 4: resultado do determinante

A=3=3 unidadesdeaˊreaA = 3 = \boxed{3\ \text{unidades} \text{de} á\text{rea}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de dividir por 2, obtendo 6, que é o dobro da área.

Resposta: 3 unidades de área (alternativa C)

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