Questão de Matemática — Geometria Plana — FUNDATEC 2023

Área do Retângulo e Produtos Notáveis

Gabarito: letra B. A área de um retângulo é dada pelo produto da base pela altura. Substituindo os valores fornecidos, temos $(x+3)(x-7)$, que, ao aplicar a propriedade distributiva, resulta em $x^2 - 4x - 21$. A alternativa B é a única que corresponde exatamente a esse polinômio.

A questão combina dois conceitos fundamentais da matemática básica: a fórmula da área do retângulo e a multiplicação de expressões algébricas (produto de binômios). Vamos relembrar cada um deles para entender a resolução completa.

1. Área do retângulo:

A área de um retângulo é a medida da superfície ocupada pela figura. Ela é calculada multiplicando-se o comprimento da base pela medida da altura. Essa é uma das fórmulas mais básicas da geometria plana e aparece em inúmeras questões de concursos.

Geometria Plana – Área do Retângulo:

$A = b \times h$

2. Produto de binômios (propriedade distributiva):

Quando temos a multiplicação de duas expressões algébricas, como $(x+3)$ e $(x-7)$, aplicamos a propriedade distributiva (conhecida como "chuveirinho"). Cada termo do primeiro parêntese multiplica cada termo do segundo, e depois somamos os resultados.

$(x+3)(x-7) = x \cdot x + x \cdot (-7) + 3 \cdot x + 3 \cdot (-7)$

$= x^2 - 7x + 3x - 21$

$= x^2 - 4x - 21$

Observe que os termos $-7x$ e $+3x$ são semelhantes e podem ser combinados: $-7x + 3x = -4x$. O termo $-21$ vem do produto $3 \times (-7)$.

Por que as outras alternativas estão erradas?

• A) $x^2 + 10x + 21$: Este seria o resultado de $(x+3)(x+7)$, ou seja, a banca trocou o sinal da altura. O sinal de $+7$ em vez de $-7$ altera tanto o coeficiente de $x$ (que ficaria $+10x$) quanto o termo constante (que ficaria $+21$).

• C) $2x - 4$: Este é o resultado da soma dos lados, ou seja, o perímetro do retângulo, não a área. O perímetro é dado por $2 \times (\text{base} + \text{altura}) = 2 \times [(x+3) + (x-7)] = 2 \times (2x - 4) = 4x - 8$. A alternativa C apresenta $2x - 4$, que é apenas a soma dos lados, sem multiplicar por 2.

• D) $4x - 11$: Este valor não corresponde a nenhuma operação direta com os dados. Parece uma tentativa de simplificar incorretamente a expressão, talvez somando os termos de forma equivocada.

Alternativa A — ❌ Incorreta

O polinômio $x^2 + 10x + 21$ é o resultado de $(x+3)(x+7)$, não de $(x+3)(x-7)$. A banca trocou o sinal da altura, o que altera o coeficiente de $x$ (de $-4$ para $+10$) e o termo constante (de $-21$ para $+21$).

Alternativa B — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Aplicando a propriedade distributiva: $(x+3)(x-7) = x^2 - 7x + 3x - 21 = x^2 - 4x - 21$. Este é exatamente o polinômio que representa a área do retângulo.

Alternativa C — ❌ Incorreta

$2x - 4$ é a soma dos lados (base + altura), não a área. O perímetro seria $2 \times (2x - 4) = 4x - 8$. A alternativa confunde área com perímetro.

Alternativa D — ❌ Incorreta

$4x - 11$ não corresponde a nenhuma operação correta com os dados fornecidos. Não há como obter esse polinômio a partir de $(x+3)(x-7)$.

Gabarito: letra B