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Questão de Matemática — Probabilidade — FUNDATEC 2023

MatemáticaProbabilidade
Código
qq900752
Banca
FUNDATEC
Órgão
Prefeitura de Harmonia - RS
Ano
2023
Nível
Superior
Cargo
Professor de Matemática
A Secretaria de Educação do estado do Rio Grande do Sul está fazendo uma capacitação com os professores da rede de ensino, os quais serão multiplicadores do saber em suas cidades de origem. Pedro e Mariana estão fazendo o curso em conjunto com mais seis colegas oriundos do mesmo município. A secretaria de educação do seu município convidará um grupo de quatro desses professores para uma palestra de formação pedagógica e disseminação do conhecimento adquirido. Qual a probabilidade de que Pedro e Mariana façam parte desse grupo convidado?
  1. A3/35.
  2. B8/70.
  3. C3/14.
  4. D1/140.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoC — 3/14.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra C — a conta chega a 3/14 (alternativa C).

A ideia por trás

A probabilidade clássica mede a chance de um evento acontecer como a razão entre os casos favoráveis e os casos possíveis, quando todos são igualmente prováveis. Aqui, os casos possíveis são todos os grupos de 4 professores que podem ser formados a partir dos 8 participantes. Como a ordem de escolha não importa (um grupo é um conjunto de pessoas, não uma sequência), usamos combinação, não arranjo. A combinação C(n,k) conta de quantas maneiras podemos escolher k elementos de um total de n, sem nos importar com a ordem. Nesta questão, precisamos contar quantos grupos de 4 contêm Pedro e Mariana, o que exige fixar essas duas pessoas e escolher as outras duas entre os seis restantes.

O que a questão dá

  • total de professores = 8

  • grupo convidado = 4 professores

  • Pedro e Mariana devem estar no grupo

O que queremos: a probabilidade de Pedro e Mariana fazerem parte do grupo convidado

Passo 1 — Calcular o total de grupos possíveis

Para calcular a probabilidade, precisamos do número total de casos possíveis, ou seja, todas as maneiras de escolher 4 professores entre os 8. Como a ordem não importa, usamos combinação.

Por que esta fórmula: A combinação C(n,k) conta grupos sem ordem. Aqui, n=8 (total de professores) e k=4 (tamanho do grupo).

C8,4=8!4!⋅4!C_{8,4} = \frac{8!}{4! \cdot 4!}

De onde vem cada valor: 88 = enunciado: total de professores · 44 = enunciado: grupo de 4

C8,4=8×7×6×54×3×2×1=70 gruposC_{8,4} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = \boxed{70\ \text{grupos}}
NÃO CAIA NESSA!

Usar arranjo (considerar ordem) ou esquecer de dividir pelo fatorial de 4, o que infla o total.

Passo 2 — Calcular os grupos com Pedro e Mariana

Agora precisamos contar os casos favoráveis: grupos que contêm Pedro e Mariana. Como eles já estão no grupo, precisamos escolher os outros 2 entre os 6 colegas restantes.

Por que esta fórmula: Novamente usamos combinação, pois a ordem dos escolhidos não importa. Aqui, n=6 (colegas restantes) e k=2 (vagas a preencher).

C6,2=6!2!⋅4!C_{6,2} = \frac{6!}{2! \cdot 4!}

De onde vem cada valor: 66 = enunciado: 8 professores - Pedro e Mariana = 6 colegas · 22 = enunciado: grupo de 4 - 2 já escolhidos = 2 vagas

C6,2=6×52×1=15 gruposC_{6,2} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = \boxed{15\ \text{grupos}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de fixar Pedro e Mariana e contar como se eles pudessem ser escolhidos livremente, ou escolher apenas 1 colega.

Passo 3 — Dividir os casos favoráveis pelos totais

A probabilidade é a razão entre os casos favoráveis e os casos possíveis. Já temos os dois números, então basta dividir.

Por que esta fórmula: A definição clássica de probabilidade: P = (casos favoráveis) / (casos possíveis).

P=C6,2C8,4P = \frac{C_{6,2}}{C_{8,4}}

De onde vem cada valor: C6,2C_{6,2} = passo 2: 15 · C8,4C_{8,4} = passo 1: 70

P=1570=3 /14P = \frac{15}{70} = \boxed{3\ /14}
NÃO CAIA NESSA!

Não simplificar a fração, ou inverter numerador e denominador.

Resposta: 3/14 (alternativa C)

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