Questão de Matemática — Geometria Analítica — FUNDATEC 2023

Geometria Analítica: reta perpendicular e centro da circunferência

Gabarito: letra B. A reta s passa pelo centro da circunferência (3, -3) e é perpendicular à reta r, cujo coeficiente angular é 3/4; portanto, o coeficiente angular de s é -4/3, e sua equação geral é 3y + 4x - 3 = 0.

Desenvolvimento

Para resolver, precisamos de dois passos: encontrar o centro da circunferência e determinar a equação da reta perpendicular a r que passa por esse ponto.

1. Centro da circunferência

A equação geral da circunferência é $x^2 + y^2 - 6x + 6y - 7 = 0$. Para encontrar o centro, completamos quadrados:

$x^2 - 6x + y^2 + 6y = 7$

$(x^2 - 6x + 9) + (y^2 + 6y + 9) = 7 + 9 + 9$

$(x - 3)^2 + (y + 3)^2 = 25$

Portanto, o centro é $C(3, -3)$ e o raio é 5.

2. Coeficiente angular da reta r

A reta r tem equação geral $-3x + 4y + 21 = 0$. Isolando y:

$4y = 3x - 21$

$y = \frac{3}{4}x - \frac{21}{4}$

Logo, o coeficiente angular de r é $m_r = \frac{3}{4}$.

3. Coeficiente angular da reta perpendicular

Duas retas são perpendiculares quando o produto de seus coeficientes angulares é -1. Assim:

$m_s \cdot m_r = -1 \Rightarrow m_s \cdot \frac{3}{4} = -1 \Rightarrow m_s = -\frac{4}{3}$

4. Equação da reta s

A reta s passa por $C(3, -3)$ e tem coeficiente angular $m_s = -\frac{4}{3}$. Usando a forma ponto-inclinação:

$y - (-3) = -\frac{4}{3}(x - 3)$

$y + 3 = -\frac{4}{3}x + 4$

Multiplicando por 3:

$3y + 9 = -4x + 12$

$3y + 4x - 3 = 0$

Essa é a equação da reta s, que corresponde à alternativa B.

Alternativa A — ❌ Incorreta

A equação $3y - 4x - 3 = 0$ tem coeficiente angular $m = \frac{4}{3}$, que é o mesmo da reta r, não o oposto do inverso. Isso tornaria s paralela a r, não perpendicular. O erro está no sinal do termo em x.

Alternativa B — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como demonstrado, a reta s tem coeficiente angular $-\frac{4}{3}$ e passa pelo centro (3, -3), resultando em $3y + 4x - 3 = 0$.

Alternativa C — ❌ Incorreta

A equação $3y + 4x - 1 = 0$ tem o coeficiente angular correto ($-\frac{4}{3}$), mas o termo constante está errado. Substituindo o ponto (3, -3): $3(-3) + 4(3) - 1 = -9 + 12 - 1 = 2 \neq 0$. Portanto, a reta não passa pelo centro da circunferência.

Alternativa D — ❌ Incorreta

A equação $-3y + 4x - 3 = 0$ tem coeficiente angular $m = \frac{4}{3}$ (mesmo de r), o que a torna paralela a r, não perpendicular. Além disso, o sinal do termo em y está invertido.

Gabarito: letra B