Matemática · FUNDATEC · 2023 | Questão sqc-qq900755

Equação Logarítmica

Gabarito: letra A — a solução é S = {5}. Aplicando a definição de logaritmo, obtemos uma equação do 2º grau cujas raízes são 3 e 5; porém, ao verificar as condições de existência do logaritmo (base positiva e diferente de 1, logaritmando positivo), apenas x = 5 é válida.

Para resolver uma equação logarítmica, o primeiro passo é aplicar a definição: $\log_b a = c \iff a = b^c$ . Aqui, temos $\log_{(x-3)}(2x^2 - 14x + 24) = 2$ , então:

2x^2 - 14x + 24 = (x-3)^2

Expandindo o quadrado e reorganizando:

2x^2 - 14x + 24 = x^2 - 6x + 9

x^2 - 8x + 15 = 0

Resolvendo a equação do 2º grau (soma = 8, produto = 15), encontramos $x = 3$ ou $x = 5$ .

Aqui está a pegadinha clássica: muitos candidatos param nesse ponto e marcam S = {3, 5}. Mas é obrigatório verificar as condições de existência do logaritmo, que são:

Base $x - 3 > 0$ e $x - 3 \neq 1$ ;
Logaritmando $2x^2 - 14x + 24 > 0$ .

Testando as raízes:

Para $x = 3$ : a base fica $3 - 3 = 0$ , o que é inválido (base deve ser positiva e diferente de 1).
Para $x = 5$ : a base fica $5 - 3 = 2$ (válida) e o logaritmando fica $2(25) - 14(5) + 24 = 50 - 70 + 24 = 4$ (positivo). Portanto, $\log_2 4 = 2$ , confirmando a solução.

Assim, o conjunto solução é $S = \{5\}$ .

Solução da equação logarítmica — só Raízes da equação: 3, 5; só Condições de existência: —; Raízes da equação∩Condições de existência: 5

Alternativa A — ✅ Correta ⟵ GABARITO

É a única que apresenta o valor que satisfaz a equação e as condições de existência. Como mostrado, $x = 5$ torna a base igual a 2 e o logaritmando igual a 4, resultando em $\log_2 4 = 2$ .

Alternativa B — ❌ Incorreta

$x = 4$ não é raiz da equação do 2º grau obtida ( $x^2 - 8x + 15 = 0$ ). Substituindo: $16 - 32 + 15 = -1 \neq 0$ . Portanto, não satisfaz a igualdade original.

Alternativa C — ❌ Incorreta

O conjunto {3, 5} contém as duas raízes da equação do 2º grau, mas ignora as condições de existência. O valor $x = 3$ torna a base do logaritmo igual a zero, o que é proibido. Por isso, não pode ser o conjunto solução.

Alternativa D — ❌ Incorreta

O conjunto {3, 4} não contém a raiz correta (5) e inclui valores que não satisfazem a equação. $x = 3$ é inválido pela base nula, e $x = 4$ não é raiz da equação quadrática.

NÃO CAIA NESSA!

A banca explora exatamente o erro de esquecer as condições de existência. O candidato resolve a equação do 2º grau, encontra 3 e 5, e marca a alternativa C sem testar se a base é válida. Lembre-se: todo logaritmo exige base positiva e diferente de 1, e logaritmando positivo — sempre verifique as raízes na equação original antes de fechar a resposta.

PEGA ESSA DICA!

Em questões de equação logarítmica, após encontrar os valores de $x$ , substitua cada um na expressão original para conferir se os logaritmos existem. Esse passo é obrigatório e elimina a maioria dos distratores.

Gabarito: letra A