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Questão de Matemática — Geometria Plana — FUNDATEC 2023

MatemáticaGeometria Plana
Código
qq900756
Banca
FUNDATEC
Órgão
Prefeitura de Harmonia - RS
Ano
2023
Nível
Superior
Cargo
Professor de Matemática
Ao ensinar os sólidos geométricos para seus alunos, a professora Rosane decidiu construir as figuras planificadas. Para construir um prisma pentagonal com 20 cm de lado da base e 10 cm de altura, ela precisou de, no mínimo, aproximadamente ___ cm² de papel.Assinale a alternativa que preenche corretamente a lacuna do trecho acima.Considere tg36° = 0,726 e tg54° = 1,37
  1. A1.370
  2. B1.870
  3. C2.370
  4. D6.850
Revelar gabarito e comentário

GabaritoC — 2.370

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra C — a conta chega a A área total é de aproximadamente 2.370 cm², portanto a alternativa correta é a letra C..

A ideia por trás

A área total de um prisma é a soma das áreas de todas as suas faces. No prisma pentagonal regular, temos duas bases (pentágonos regulares) e cinco faces laterais (retângulos). A área lateral é fácil: é o perímetro da base vezes a altura. A parte que exige cuidado é a área da base, pois precisamos do apótema do pentágono. O apótema é a distância do centro ao ponto médio de um lado, e ele forma um triângulo retângulo com o raio e metade do lado. Usando trigonometria, conseguimos calcular o apótema a partir do ângulo central. Nesta questão, o ângulo central é 72°, e o triângulo retângulo usa metade dele, 36°. Por isso, usamos a tangente de 36° para achar o apótema. A pegadinha é que a banca fornece também a tangente de 54°, que é o complementar, e quem usa essa por engano erra a área da base.

O que a questão dá

  • lado da base = 20 cm

  • altura do prisma = 10 cm

  • tg36° = 0,726

  • tg54° = 1,37

O que queremos: a área total do prisma pentagonal regular

Passo 1 — Calcular o perímetro da base

A área lateral do prisma é o perímetro da base vezes a altura. Precisamos do perímetro para calcular a área lateral e também para a área da base.

Por que esta fórmula: O perímetro de um polígono regular é o número de lados vezes o comprimento de cada lado. Aqui, o pentágono tem 5 lados de 20 cm.

P=5⋅lP = 5 \cdot l

De onde vem cada valor: ll = enunciado: 20 cm

P=5⋅20=100 cmP = 5 \cdot 20 = \boxed{100\ \text{cm}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de multiplicar por 5, usando apenas 20 cm como perímetro.

Passo 2 — Calcular a área lateral

A área lateral é a soma das áreas dos cinco retângulos que formam as faces laterais. Cada retângulo tem base igual ao lado do pentágono e altura igual à altura do prisma.

Por que esta fórmula: A área lateral de um prisma é o perímetro da base vezes a altura, pois são cinco retângulos idênticos.

Alat=P⋅hA_{lat} = P \cdot h

De onde vem cada valor: PP = passo 1: 100 cm · hh = enunciado: 10 cm

Alat=100⋅10=1000 cm2A_{lat} = 100 \cdot 10 = \boxed{1000\ \text{cm}^{2}}
NÃO CAIA NESSA!

Usar apenas um retângulo (20 × 10 = 200) em vez de cinco.

Passo 3 — Descobrir o apótema do pentágono

Para calcular a área da base (pentágono), precisamos do apótema. O apótema é a distância do centro ao ponto médio de um lado. No pentágono regular, o ângulo central é 360°/5 = 72°. Ao traçar o apótema, formamos um triângulo retângulo com metade do lado e o raio. O ângulo no centro é metade de 72°, ou seja, 36°. Nesse triângulo, o cateto oposto a 36° é metade do lado (10 cm) e o cateto adjacente é o apótema. Por isso, usamos a tangente de 36°.

Por que esta fórmula: A tangente de um ângulo em um triângulo retângulo é a razão entre o cateto oposto e o cateto adjacente. Aqui, temos tan(36°) = (metade do lado) / apótema.

tan⁡36°=l/2a\tan 36° = \frac{l/2}{a}

De onde vem cada valor: ll = enunciado: 20 cm · 36°36° = metade do ângulo central (72°/2)

0,726=10a=a≈13,77cm0{,}726 = \frac{10}{a} = \boxed{\text{a} ≈ 13,77 \text{cm}}
NÃO CAIA NESSA!

Usar a tangente de 54° (que é o complementar) ou inverter os catetos, colocando o apótema no numerador.

Passo 4 — Calcular a área da base

Com o apótema e o perímetro, podemos calcular a área do pentágono. A área de um polígono regular é metade do produto do perímetro pelo apótema.

Abase=P⋅a2A_{base} = \frac{P \cdot a}{2}

De onde vem cada valor: PP = passo 1: 100 cm · aa = passo 3: ≈ 13,77 cm

Abase=100⋅13,772=688,5 cm2A_{base} = \frac{100 \cdot 13{,}77}{2} = \boxed{688{,}5\ \text{cm}^{2}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de dividir por 2, ou usar o lado em vez do apótema.

Passo 5 — Calcular a área total

A área total do prisma é a soma da área lateral com as duas bases. Já temos a área lateral e a área de uma base, então basta somar.

Por que esta fórmula: Um prisma tem duas bases congruentes, então multiplicamos a área da base por 2 e somamos com a área lateral.

Atotal=Alat+2⋅AbaseA_{total} = A_{lat} + 2 \cdot A_{base}

De onde vem cada valor: AlatA_{lat} = passo 2: 1000 cm² · AbaseA_{base} = passo 4: 688,5 cm²

Atotal=1000+2⋅688,5=2377 cm2A_{total} = 1000 + 2 \cdot 688{,}5 = \boxed{2377\ \text{cm}^{2}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de multiplicar a área da base por 2, ou somar apenas uma base.

Resposta: A área total é de aproximadamente 2.370 cm², portanto a alternativa correta é a letra C.

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