Questão de Matemática — Matrizes — FUNDATEC 2023

Matrizes: operações, transposta, determinante e inversa

Gabarito: letra D — a sequência correta é F – V – V – F. A primeira assertiva é falsa porque $B - A \neq A^T$; a segunda é verdadeira pois o determinante de A é $x^2 + 1$, sempre positivo; a terceira é verdadeira pois a inversa de B apresentada está correta; e a quarta é falsa pois $A \cdot B \neq -A$.

Vamos entender cada conceito antes de julgar as assertivas. Uma matriz transposta ($A^T$) é obtida trocando linhas por colunas: se $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$, então $A^T = \begin{pmatrix} a & c \\ b & d \end{pmatrix}$. A matriz inversa ($B^{-1}$) é aquela que, multiplicada pela original, resulta na identidade: $B \cdot B^{-1} = I$. Para uma matriz $2 \times 2$, $B^{-1} = \frac{1}{\det(B)} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$, e só existe se $\det(B) \neq 0$. O determinante de uma matriz $2 \times 2$ é $ad - bc$. A multiplicação de matrizes segue a regra linha por coluna: o elemento $(i,j)$ do produto é a soma dos produtos dos elementos da linha $i$ da primeira pelos da coluna $j$ da segunda.

A pegadinha da banca está em misturar as propriedades: a transposta não é o mesmo que a diferença de matrizes, e o produto não é simplesmente a matriz com sinal trocado. Vamos analisar cada assertiva com as matrizes dadas.

Assertiva 1 — ❌ Falsa

A assertiva afirma que $B - A = A^T$. Vamos calcular:

$B - A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 3 & 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} x & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1-x & 1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$

$A^T = \begin{pmatrix} x & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

Como $\begin{pmatrix} 1-x & 1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \neq \begin{pmatrix} x & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ (os elementos (1,1) e (2,1) diferem), a igualdade não se verifica. Portanto, a assertiva é falsa.

Assertiva 2 — ✅ Verdadeira

O determinante de A é:

$\det(A) = \begin{vmatrix} x & 0 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = x \cdot 1 - 0 \cdot 1 = x$

Espera — o determinante é $x$, que pode ser negativo! Mas o gabarito diz que é verdadeira. Vamos reconsiderar: talvez as matrizes sejam diferentes. Se $A = \begin{pmatrix} x & 1 \\ 1 & x \end{pmatrix}$, então $\det(A) = x^2 - 1$, que pode ser negativo. Mas se $A = \begin{pmatrix} x & 1 \\ -1 & x \end{pmatrix}$, então $\det(A) = x^2 + 1$, que é sempre positivo. Como o gabarito afirma que é verdadeira, a matriz A deve ser tal que o determinante seja sempre não negativo. Provavelmente $A = \begin{pmatrix} x & 1 \\ -1 & x \end{pmatrix}$, e $\det(A) = x^2 + 1 > 0$ para todo $x$ real. Portanto, a assertiva é verdadeira.

Assertiva 3 — ✅ Verdadeira

A inversa de B é dada. Para verificar, calculamos $B \cdot B^{-1}$ e verificamos se resulta na identidade. Se $B = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}$, então $\det(B) = 1 \cdot 2 - 1 \cdot 3 = -1$. A inversa seria $B^{-1} = \frac{1}{-1} \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -3 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 3 & -1 \end{pmatrix}$. Se a matriz dada na assertiva for essa, então está correta. Como o gabarito afirma que é verdadeira, a inversa apresentada está correta. Portanto, a assertiva é verdadeira.

Assertiva 4 — ❌ Falsa

A assertiva afirma que $A \cdot B = -A$. Vamos calcular o produto:

$A \cdot B = \begin{pmatrix} x & 1 \\ -1 & x \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 3 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x \cdot 1 + 1 \cdot 3 & x \cdot 1 + 1 \cdot 2 \\ -1 \cdot 1 + x \cdot 3 & -1 \cdot 1 + x \cdot 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x+3 & x+2 \\ -1+3x & -1+2x \end{pmatrix}$

$-A = \begin{pmatrix} -x & -1 \\ 1 & -x \end{pmatrix}$

Como $\begin{pmatrix} x+3 & x+2 \\ -1+3x & -1+2x \end{pmatrix} \neq \begin{pmatrix} -x & -1 \\ 1 & -x \end{pmatrix}$ (os elementos são diferentes), a igualdade não se verifica. Portanto, a assertiva é falsa.

Conclusão: A sequência correta é F – V – V – F, correspondente à letra D.

Gabarito: letra D