Matemática · FUNDATEC · 2023 | Questão sqc-qq901498

Interseção de funções quadráticas

Gabarito: letra B — os gráficos coincidem para $x = -1$ e $x = 4$ . Para encontrar os pontos de interseção, igualamos as duas funções: $f(x) = g(x)$ . Isso gera uma equação do 2º grau, cujas raízes são exatamente as abscissas onde os gráficos se cruzam.

O problema pede os valores de $x$ para os quais as funções $f(x) = -x^2 + 4x$ e $g(x) = x^2 - 3x - 4$ têm o mesmo valor. Geometricamente, isso significa encontrar os pontos de interseção das duas parábolas. A estratégia é sempre a mesma: igualar as expressões e resolver a equação resultante.

Vamos fazer isso passo a passo:

Igualar as funções:
$-x^2 + 4x = x^2 - 3x - 4$

Reorganizar todos os termos em um lado da equação:
$-x^2 + 4x - x^2 + 3x + 4 = 0$
$-2x^2 + 7x + 4 = 0$

Multiplicar por $-1$ para facilitar (opcional):
$2x^2 - 7x - 4 = 0$

Aplicar a fórmula de Bhaskara:
Para a equação $ax^2 + bx + c = 0$ , temos $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ .
Aqui, $a = 2$ , $b = -7$ , $c = -4$ .

Calculando o discriminante:

\Delta = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-4) = 49 + 32 = 81

Como $\Delta > 0$ , existem duas raízes reais distintas.

x = \frac{-(-7) \pm \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{7 \pm 9}{4}

Primeira raiz: $x_1 = \frac{7 + 9}{4} = \frac{16}{4} = 4$
Segunda raiz: $x_2 = \frac{7 - 9}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$

Portanto, os gráficos coincidem em $x = 4$ e $x = -\frac{1}{2}$ .

NÃO CAIA NESSA!

A banca troca o sinal de um dos termos na hora de igualar as funções. Se você esquecer de passar todos os termos para um lado com o sinal correto, pode acabar com uma equação diferente e chegar em raízes erradas. Por exemplo, se você fizer $-x^2 + 4x = x^2 - 3x - 4$ e não mudar o sinal do $x^2$ ao mover, obterá $0 = 2x^2 - 7x - 4$ , que é a mesma coisa, mas se errar um sinal, o resultado muda completamente. Fique atento!

Interseção de funções — só Conjunto X: -1/2; só Conjunto Y: 4; Conjunto X∩Conjunto Y: 0

Alternativa A — ❌ Incorreta

Apresenta os valores $x = -1$ e $x = -8$ . O valor $-1$ não é raiz da equação $2x^2 - 7x - 4 = 0$ , pois $2(-1)^2 - 7(-1) - 4 = 2 + 7 - 4 = 5 \neq 0$ . O valor $-8$ também não é raiz. Provavelmente, o candidato cometeu um erro de sinal ao resolver a equação ou confundiu os coeficientes.

Alternativa B — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Apresenta os valores $x = -\frac{1}{2}$ e $x = 4$ , que são exatamente as raízes da equação $2x^2 - 7x - 4 = 0$ , como calculado acima. Esses são os pontos onde $f(x) = g(x)$ .

Alternativa C — ❌ Incorreta

Apresenta os valores $x = -1$ e $x = 8$ . O valor $8$ não é raiz, pois $2(8)^2 - 7(8) - 4 = 128 - 56 - 4 = 68 \neq 0$ . O valor $-1$ também não é raiz, como já verificado. O candidato pode ter errado ao calcular o discriminante ou ao extrair a raiz quadrada.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Apresenta os valores $x = -1$ e $x = -4$ . O valor $-4$ não é raiz, pois $2(-4)^2 - 7(-4) - 4 = 32 + 28 - 4 = 56 \neq 0$ . O valor $-1$ também não é raiz. Provavelmente, o candidato inverteu o sinal de uma das raízes ou errou na fatoração.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Apresenta os valores $x = -1$ e $x = 2$ . O valor $2$ não é raiz, pois $2(2)^2 - 7(2) - 4 = 8 - 14 - 4 = -10 \neq 0$ . O valor $-1$ também não é raiz. O candidato pode ter resolvido a equação de forma incorreta, talvez esquecendo de considerar o termo $-4$ .

Gabarito: letra B