Matemática · FUNDATEC · 2023 | Questão sqc-qq902946

Geometria Analítica: reta, interseção com os eixos e distância entre pontos

Gabarito: letra D. A reta que passa por A(1, 3/2) e B(4, 3) corta o eixo x no ponto C(2, 0) e o eixo y no ponto D(0, 1); a distância entre esses dois pontos é √5. O caminho é: encontrar a equação da reta, achar os pontos de interseção com os eixos e aplicar a fórmula da distância entre dois pontos.

A questão combina dois conteúdos clássicos de Geometria Analítica: a equação da reta que passa por dois pontos e a distância entre dois pontos. Vamos por partes.

1. Equação da reta

Dados dois pontos, o coeficiente angular (declividade) é:

m = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \frac{3 - \frac{3}{2}}{4 - 1} = \frac{\frac{3}{2}}{3} = \frac{1}{2}

Com o coeficiente angular e um ponto, montamos a equação na forma reduzida $y = mx + n$ . Usando A(1, 3/2):

\frac{3}{2} = \frac{1}{2} \cdot 1 + n \Rightarrow n = 1

Portanto, a equação da reta é:

y = \frac{1}{2}x + 1

2. Interseção com os eixos

Eixo x (y = 0): $0 = \frac{1}{2}x + 1 \Rightarrow x = -2$ . Logo, C = (-2, 0).
Eixo y (x = 0): $y = \frac{1}{2} \cdot 0 + 1 = 1$ . Logo, D = (0, 1).

3. Distância entre C e D

A distância entre dois pontos $(x_1, y_1)$ e $(x_2, y_2)$ é dada por:

d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}

Substituindo C(-2, 0) e D(0, 1):

d = \sqrt{(0 - (-2))^2 + (1 - 0)^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}

Portanto, o comprimento do segmento CD é $\sqrt{5}$ .

1Achar equação da reta
2Interseção com eixo x (y=0)
3Interseção com eixo y (x=0)
4Aplicar fórmula da distância

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Alternativa A — ❌ Incorreta

O valor 1 corresponde ao coeficiente linear da reta (o ponto onde ela corta o eixo y), não à distância entre os pontos de interseção. É um distrator que confunde o parâmetro da equação com o resultado pedido.

Alternativa B — ❌ Incorreta

√3 ≈ 1,73. Esse valor não corresponde a nenhuma medida relevante do problema. Pode ter sido obtido por um erro de cálculo na distância, como usar apenas a diferença das coordenadas de um dos eixos.

Alternativa C — ❌ Incorreta

O valor 2 é a distância entre os pontos de interseção se a reta cortasse os eixos em pontos como (2,0) e (0,0), mas não é o caso. Também pode ser a abscissa do ponto C se o aluno errasse o sinal na equação.

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como demonstrado, a distância entre C(-2, 0) e D(0, 1) é $\sqrt{5}$ . A alternativa correta é a letra D.

Alternativa E — ❌ Incorreta

√7 ≈ 2,65. Esse valor não corresponde a nenhuma medida do problema. Pode ter sido obtido por um erro na aplicação da fórmula da distância, como somar as coordenadas em vez de subtrair.

NÃO CAIA NESSA!

A banca explora a pressa: muitos alunos calculam a distância entre os pontos A e B (que é $\sqrt{11,25}$ ) ou entre um dos pontos dados e a origem, em vez de achar primeiro os pontos de interseção com os eixos. O passo que falta é justamente encontrar C e D — sem isso, nenhuma alternativa bate. Fique atento: leia o enunciado e identifique quais pontos estão sendo pedidos.

PEGA ESSA DICA!

Para questões de reta que cortam os eixos, o caminho é sempre o mesmo: (1) achar a equação da reta, (2) fazer x = 0 para achar o ponto no eixo y e y = 0 para achar o ponto no eixo x, (3) aplicar a fórmula da distância. Treine esse roteiro e você resolve rápido.

Gabarito: letra D