Questão de Matemática — Probabilidade — FUNDATEC 2023

Probabilidade: Eventos Independentes e Complementares

Gabarito: letra B. A probabilidade de errar todas as cinco questões difíceis é $(4/5)^5 = 1024/3125 \approx 0,32768$, que é menor que 0,4. Esse cálculo decorre da probabilidade de eventos independentes: para cada questão, a chance de errar é de 4 em 5 (já que há 5 opções e apenas 1 correta), e como os eventos são independentes, multiplicamos as probabilidades.

A questão explora dois conceitos centrais da probabilidade: a probabilidade de eventos independentes e o evento complementar. Quando temos várias tentativas independentes (como responder questões diferentes), a probabilidade de uma sequência específica de resultados é o produto das probabilidades individuais. Além disso, a probabilidade de "acertar pelo menos uma" é o complemento de "errar todas", ou seja, $1 - P(\text{errar todas})$.

Vamos calcular as probabilidades-chave:

• Probabilidade de errar uma questão difícil: como há 5 opções e apenas 1 correta, há 4 opções erradas. Logo, $P(\text{errar}) = \frac{4}{5} = 0,8$.

• Probabilidade de errar todas as 5 questões difíceis: como as questões são independentes, multiplicamos as probabilidades: $P(\text{errar todas}) = \left(\frac{4}{5}\right)^5 = \frac{1024}{3125} \approx 0,32768$.

• Probabilidade de acertar pelo menos uma questão difícil: é o complemento de errar todas: $P(\text{acertar pelo menos 1}) = 1 - P(\text{errar todas}) = 1 - 0,32768 = 0,67232$.

• Probabilidade de acertar todas as 5 questões difíceis: $P(\text{acertar todas}) = \left(\frac{1}{5}\right)^5 = \frac{1}{3125} \approx 0,00032$.

A pegadinha da banca está em comparar probabilidades de eventos complementares e em exigir o cálculo exato de potências. Muitos candidatos erram ao calcular $(4/5)^5$ ou ao confundir a probabilidade de "errar todas" com a de "acertar pelo menos uma".

Alternativa A — ❌ Incorreta

Afirma que a probabilidade de errar todas as questões difíceis é menor do que a probabilidade de acertar pelo menos uma. Isso é verdadeiro, mas a alternativa está incompleta e não é a mais precisa. Calculando: $P(\text{errar todas}) \approx 0,32768$ e $P(\text{acertar pelo menos 1}) \approx 0,67232$. De fato, $0,32768 < 0,67232$. No entanto, a alternativa B é mais específica e correta, pois afirma que a probabilidade de errar todas é menor que 0,4, o que é uma afirmação mais direta e verificável. A alternativa A não está errada em si, mas a questão pede a afirmação correta e a B é a mais precisa e completa.

Alternativa B — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Afirma que a probabilidade de errar todas as questões difíceis é menor que 0,4. Calculamos $P(\text{errar todas}) = \left(\frac{4}{5}\right)^5 = \frac{1024}{3125} \approx 0,32768$. Como $0,32768 < 0,4$, a afirmação é verdadeira. Esta é a alternativa correta.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Afirma que a probabilidade de errar todas as questões difíceis está entre 0,4 e 0,5. Isso é falso, pois $P(\text{errar todas}) \approx 0,32768$, que é menor que 0,4. O erro está em superestimar a probabilidade de errar todas as questões.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Afirma que a probabilidade de acertar todas as questões difíceis está entre 0,3 e 0,4. Isso é falso, pois $P(\text{acertar todas}) = \left(\frac{1}{5}\right)^5 = \frac{1}{3125} \approx 0,00032$, que é muito menor que 0,3. O erro está em confundir a probabilidade de acertar todas com a de errar todas.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Afirma que a probabilidade de acertar todas as questões difíceis é maior que 0,4. Isso é falso, pois $P(\text{acertar todas}) \approx 0,00032$, que é muito menor que 0,4. O erro está em superestimar drasticamente a chance de acertar todas as questões.

Gabarito: letra B