Questão de Matemática — Números Primos e Divisibilidade — FUNDATEC 2023

Divisores de um número natural

Gabarito: letra B. O número 36 possui 9 divisores naturais (1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 e 36), portanto possui mais do que 5 divisores. A quantidade de divisores de um número é finita e pode ser calculada pela fatoração em primos: se $N = p_1^{e_1} \cdot p_2^{e_2} \cdots p_k^{e_k}$, então o número de divisores é $(e_1+1)(e_2+1)\cdots(e_k+1)$.

Para entender a questão, precisamos lembrar o que é um divisor: um número natural $d$ é divisor de $N$ se a divisão de $N$ por $d$ é exata, ou seja, se existe um inteiro $k$ tal que $N = d \cdot k$. Todo número natural $N > 1$ tem pelo menos dois divisores: o 1 e ele mesmo. O número 36 é composto (não é primo), então tem mais divisores além desses.

Vamos fatorar o 36:

Aplicando a fórmula da quantidade de divisores: somamos 1 a cada expoente e multiplicamos:

Portanto, 36 tem exatamente 9 divisores naturais. Listando: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.

A banca explora a confusão entre divisores e múltiplos: enquanto os múltiplos de um número são infinitos, os divisores são sempre em quantidade finita. Além disso, alguns candidatos podem contar apenas os divisores primos (2 e 3) ou esquecer o 1 e o próprio número.

Alternativa A — ❌ Incorreta

Afirma que 36 possui apenas um divisor. Isso é falso: todo número natural maior que 1 tem pelo menos dois divisores (1 e ele mesmo). No caso do 36, são 9 divisores.

Alternativa B — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Correta. Como calculado, 36 possui 9 divisores naturais, que é mais do que 5. A fatoração $36 = 2^2 \times 3^2$ gera $(2+1)(2+1) = 9$ divisores.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Afirma que 36 possui infinitos divisores. Isso confunde divisor com múltiplo: os múltiplos de 36 são infinitos (36, 72, 108, ...), mas os divisores de qualquer número natural são sempre em quantidade finita.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Afirma que 36 possui exatamente 3 divisores. Isso seria verdade se 36 fosse o quadrado de um primo (como 9, que tem 3 divisores: 1, 3, 9), mas 36 tem dois fatores primos distintos, resultando em 9 divisores.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Afirma que 36 não possui divisores. Todo número natural maior que 1 possui pelo menos os divisores 1 e ele mesmo. O 36 possui 9 divisores.

Gabarito: letra B