Questão de Matemática — Derivada — FUNDATEC 2023

Função quadrática: concavidade, raízes e vértice

Gabarito: letra C. A função $f(x) = -x^2 + 4x + 5$ é uma parábola com concavidade voltada para baixo (coeficiente $a = -1 < 0$), raízes $x' = -1$ e $x'' = 5$, e ponto de máximo no vértice $(2, 9)$ — exatamente o que a alternativa C afirma. Vamos verificar cada elemento.

A função quadrática (ou função do 2º grau) tem a forma geral $f(x) = ax^2 + bx + c$, com $a \neq 0$. Seu gráfico é sempre uma parábola. Três características definem essa parábola:

1. Concavidade: se $a > 0$, a parábola tem concavidade voltada para cima (formato de "boca para cima") e o vértice é um ponto de mínimo; se $a < 0$, a concavidade é voltada para baixo ("boca para baixo") e o vértice é um ponto de máximo.

2. Raízes (zeros): são os valores de $x$ que tornam $f(x) = 0$. Podem ser encontradas pela fórmula de Bhaskara: $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$.

3. Vértice: o ponto extremo da parábola, com coordenadas $x_v = -\frac{b}{2a}$ e $y_v = f(x_v) = c - \frac{b^2}{4a}$.

Aplicando à função dada, com $a = -1$, $b = 4$ e $c = 5$:

• Concavidade: $a = -1 < 0$ → concavidade para baixo.

• Raízes: $\Delta = b^2 - 4ac = 16 - 4(-1)(5) = 16 + 20 = 36$. Então $x = \frac{-4 \pm 6}{-2}$, resultando em $x' = \frac{-4 - 6}{-2} = 5$ e $x'' = \frac{-4 + 6}{-2} = -1$. (Note que a ordem não importa: as raízes são $-1$ e $5$.)

• Vértice: $x_v = -\frac{4}{2(-1)} = 2$; $y_v = f(2) = -(2)^2 + 4(2) + 5 = -4 + 8 + 5 = 9$. Como $a < 0$, esse vértice é o ponto de máximo.

A alternativa C reúne corretamente esses três elementos. As demais alternativas erram em pelo menos um deles, como veremos a seguir.

Alternativa A — ❌ Incorreta

Erra na concavidade: afirma que é "voltada para cima", mas $a = -1 < 0$ indica concavidade para baixo. As raízes e o vértice estão corretos, mas o erro na concavidade invalida a alternativa.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Erra nas raízes (diz $x' = 1$ e $x'' = 5$, mas o correto é $-1$ e $5$) e no vértice (diz ponto de mínimo em $(-2, 9)$, mas o correto é máximo em $(2, 9)$). A concavidade está correta (para baixo), mas os demais elementos estão trocados.

Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Confirma os três elementos: concavidade para baixo ($a = -1$), raízes $-1$ e $5$, e ponto de máximo em $(2, 9)$. É a única alternativa totalmente correta.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Erra na concavidade (diz "para cima", mas é para baixo) e no vértice (diz ponto de mínimo em $(2, -9)$, mas o correto é máximo em $(2, 9)$). As raízes estão corretas, mas os outros elementos não.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Erra ao classificar o gráfico como reta. A função é do 2º grau, portanto seu gráfico é uma parábola, não uma reta. Além disso, o termo "ponto de máximo" só se aplica a parábolas com concavidade para baixo, não a retas.

Gabarito: letra C