Questão de Matemática — Função Exponencial — FUNDATEC 2023
Matemática›Função Exponencial
Código
qq903737
Banca
FUNDATEC
Órgão
Prefeitura de Porto Alegre - RS
Ano
2023
Nível
Superior
Cargo
Professor de Matemática
Uma empresa está imprimindo panfletos de propaganda. Para evitar custos extras, desperdícios e acúmulo de material, a empresa decidiu realizar a impressão uma vez por semana, ou seja, semanalmente de acordo com a função exponencial: f(x) = 500. 2t-¹. Em quantas semanas a empresa imprimirá 16.000?
A2 semanas.
B5 semanas.
C6 semanas.
D7 semanas.
E32 semanas.
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GabaritoC — 6 semanas.
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Resolução
Gabarito: letra C — a conta chega a 6 semanas (letra C).
A ideia por trás
A função exponencial descreve um crescimento que se multiplica por um fator constante a cada intervalo de tempo. Aqui, a cada semana o número de panfletos dobra (por causa da base 2), mas com um deslocamento no expoente: o valor na semana t é 500 vezes 2 elevado a (t−1). Para descobrir em que semana se atinge 16.000, precisamos resolver uma equação exponencial, onde a incógnita está no expoente. A propriedade que usamos é a injetividade da função exponencial: se duas potências de mesma base são iguais, então os expoentes são iguais. Por isso, o caminho é isolar a potência, escrever os dois lados com a mesma base e igualar os expoentes.
O que a questão dá
f(x) = 500 · 2^(t−1)
f(x) = 16.000 panfletos
O que queremos: o número de semanas t em que a empresa imprimirá 16.000 panfletos
Passo 1 — Substituir f(x) por 16.000
Queremos saber em que semana a produção atinge 16.000 panfletos. Como f(x) representa a quantidade de panfletos, substituímos f(x) por 16.000 na fórmula dada, transformando o problema em uma equação.
Por que esta fórmula: A função dada é f(x) = 500 · 2^(t−1). Para encontrar o t que produz 16.000, igualamos a função a esse valor.
De onde vem cada valor: = enunciado: valor de f(x) pedido · = enunciado: coeficiente da função · = enunciado: parte exponencial da função
NÃO CAIA NESSA!
Esquecer de substituir corretamente e tentar resolver sem igualar a função ao valor pedido.
Passo 2 — Isolar a potência 2^(t−1)
Para resolver a equação exponencial, precisamos deixar a potência sozinha de um lado. Assim, dividimos ambos os lados por 500, que é o coeficiente que multiplica a potência.
Por que esta fórmula: Dividir os dois lados por 500 mantém a igualdade e isola o termo exponencial, que é o que contém a incógnita.
De onde vem cada valor: = passo 1 · = enunciado: coeficiente da função
NÃO CAIA NESSA!
Errar a divisão: 16.000 ÷ 500 = 32, mas alguns podem calcular 16.000 ÷ 500 = 320 ou 3,2.
Passo 3 — Escrever 32 como potência de 2
Para usar a propriedade de igualdade de expoentes, precisamos que os dois lados da equação tenham a mesma base. Como 32 é uma potência de 2, escrevemos 32 = 2^5.
Por que esta fórmula: A base da potência do lado direito é 2, então devemos expressar o lado esquerdo também na base 2. Sabemos que 2^5 = 32.
De onde vem cada valor: = fato matemático: 2^5 = 32 · = passo 2
NÃO CAIA NESSA!
Confundir 32 com 2^4 (16) ou 2^6 (64).
Passo 4 — Igualar os expoentes e achar t
Com as bases iguais, a função exponencial é injetiva: se 2^a = 2^b, então a = b. Isso nos permite igualar os expoentes e resolver uma equação simples do primeiro grau.
Por que esta fórmula: A propriedade da função exponencial garante que potências de mesma base só são iguais se os expoentes forem iguais. Então, 5 = t − 1.
De onde vem cada valor: = passo 3: expoente do lado esquerdo · = passo 3: expoente do lado direito
NÃO CAIA NESSA!
Esquecer de somar 1 aos dois lados: t = 5 em vez de t = 6.