Matemática · FUNDATEC · 2023 | Questão sqc-qq903739

Divisibilidade de polinômios e o Teorema do Resto

Gabarito: letra A — para que $p(x) = -3x^3 + 2x^2 - 7x + k$ seja divisível por $q(x) = x - 3$ , o resto da divisão deve ser zero. Pelo Teorema do Resto, o resto da divisão de $p(x)$ por $x - a$ é $p(a)$ ; aqui $a = 3$ , então basta impor $p(3) = 0$ , o que leva a $k = 30$ .

A divisibilidade de polinômios é o análogo da divisibilidade entre números inteiros: dizemos que $p(x)$ é divisível por $q(x)$ quando existe um polinômio $Q(x)$ tal que $p(x) = q(x) \cdot Q(x)$ , ou seja, quando o resto da divisão é o polinômio nulo. Para divisores da forma $x - a$ (grau 1), existe um atalho poderoso: o Teorema do Resto (ou Teorema de D'Alembert) afirma que o resto da divisão de $p(x)$ por $x - a$ é exatamente $p(a)$ . Assim, a condição de divisibilidade se reduz a $p(a) = 0$ — e é exatamente isso que a questão explora.

A pegadinha clássica aqui é o sinal: o divisor é $x - 3$ , então a raiz é $+3$ (não $-3$ ). Muitos candidatos substituem $x = -3$ por engano, obtendo um valor diferente de $k$ . Outro erro comum é esquecer de considerar o termo constante $k$ ao calcular $p(3)$ , ou errar a aritmética dos sinais. Vamos ao cálculo com calma:

p(3) = -3(3)^3 + 2(3)^2 - 7(3) + k

p(3) = -3 \cdot 27 + 2 \cdot 9 - 21 + k

p(3) = -81 + 18 - 21 + k

p(3) = -84 + k

Para que a divisão seja exata, o resto deve ser zero:

-84 + k = 0 \Rightarrow k = 84

Espera — isso dá 84, não 30! O que houve? Vamos conferir o enunciado: $p(x) = -3x^3 + 2x^2 - 7x + k$ . Os coeficientes são $-3$ , $2$ , $-7$ e $k$ . Calculando $p(3)$ :

$-3 \cdot 27 = -81$

$2 \cdot 9 = 18$

$-7 \cdot 3 = -21$

Somando: $-81 + 18 - 21 + k = -84 + k$ . Para zerar, $k = 84$ .

Mas o gabarito oficial é $k = 30$ . Há uma inconsistência entre o cálculo e o gabarito. Vamos verificar se não há erro de digitação no enunciado. Se o polinômio fosse $p(x) = -3x^3 + 2x^2 - 7x + k$ e o divisor $x - 3$ , o valor correto de $k$ seria 84, não 30. Se o divisor fosse $x + 3$ (ou seja, $x - (-3)$ ), teríamos $p(-3) = -3(-27) + 2(9) - 7(-3) + k = 81 + 18 + 21 + k = 120 + k$ , e para zerar $k = -120$ , que também não é 30.

Vamos testar se $k = 30$ torna $p(3) = 0$ : $p(3) = -84 + 30 = -54 \neq 0$ . Portanto, com o enunciado dado, $k = 30$ não torna o polinômio divisível por $x - 3$ . O valor correto é $k = 84$ .

Como a banca deu o gabarito como A ( $k = 30$ ), é provável que haja um erro no enunciado ou no gabarito. Talvez o polinômio seja $p(x) = -3x^3 + 2x^2 - 7x + k$ e o divisor seja $x + 3$ ? Não, aí daria $k = -120$ . Talvez o polinômio seja $p(x) = -3x^3 + 2x^2 + 7x + k$ ? Aí $p(3) = -81 + 18 + 21 + k = -42 + k$ , e $k = 42$ . Nenhum dos ajustes simples produz 30.

Outra possibilidade: o divisor é $x - 2$ ? $p(2) = -24 + 8 - 14 + k = -30 + k$ , então $k = 30$ . Aha! Se o divisor fosse $x - 2$ , o valor de $k$ seria 30. Mas o enunciado diz $x - 3$ . Isso sugere que o gabarito foi calculado com divisor $x - 2$ , ou que o polinômio tem outro coeficiente.

Vamos verificar se há alguma combinação que dê 30 com divisor $x - 3$ : precisamos de $p(3) = 0$ , então $-84 + k = 0 \Rightarrow k = 84$ . Não há como obter 30.

Portanto, a questão apresenta um erro material: ou o divisor deveria ser $x - 2$ , ou o gabarito deveria ser $k = 84$ . Como o gabarito oficial é A, a banca considerou $k = 30$ , o que corresponde ao divisor $x - 2$ . Vamos resolver considerando essa hipótese, pois é a única forma de chegar ao gabarito.

Se $q(x) = x - 2$ , então pelo Teorema do Resto, $p(2) = 0$ :

p(2) = -3(2)^3 + 2(2)^2 - 7(2) + k = -24 + 8 - 14 + k = -30 + k

-30 + k = 0 \Rightarrow k = 30

Assim, a alternativa A ( $k = 30$ ) é o gabarito, mas apenas se o divisor for $x - 2$ , não $x - 3$ como escrito. Como a banca deu o gabarito A, devemos seguir o gabarito, mas é importante o aluno perceber a inconsistência.

Caso	Atribuição (divisor / raiz)	Resultado
1	( q(x) = x - 3 ), ( a = 3 )	$p(3) = -84 + k = 0 \Rightarrow k = 84$ (não está nas alternativas)
2	( q(x) = x + 3 ), ( a = -3 )	$p(-3) = 120 + k = 0 \Rightarrow k = -120$ (não está nas alternativas)
3	( q(x) = x - 2 ), ( a = 2 )	$p(2) = -30 + k = 0 \Rightarrow k = 30$ (gabarito A, provável erro no enunciado)
4	( k = 30 ) com ( q(x) = x - 3 )	$p(3) = -84 + 30 = -54 \neq 0$ → não divisível
5	( k = 10 ) com ( q(x) = x - 2 )	$p(2) = -30 + 10 = -20 \neq 0$ → não divisível
6	( k = 3 ) com ( q(x) = x - 2 )	$p(2) = -30 + 3 = -27 \neq 0$ → não divisível
7	( k = -10 ) com ( q(x) = x - 2 )	$p(2) = -30 - 10 = -40 \neq 0$ → não divisível
8	( k = -30 ) com ( q(x) = x - 2 )	$p(2) = -30 - 30 = -60 \neq 0$ → não divisível

Alternativa A — ✅ Correta (conforme gabarito, com ressalva)

Se considerarmos o divisor como $x - 2$ (provável erro de digitação no enunciado), o Teorema do Resto dá $p(2) = -30 + k = 0$ , logo $k = 30$ . É a única forma de chegar ao valor do gabarito. Com o divisor $x - 3$ como escrito, o valor correto seria $k = 84$ , o que não está entre as alternativas. Portanto, a banca considerou $k = 30$ como resposta.

Alternativa B — ❌ Incorreta

$k = 10$ não satisfaz a condição de divisibilidade. Se o divisor fosse $x - 2$ , teríamos $p(2) = -30 + 10 = -20 \neq 0$ ; se fosse $x - 3$ , $p(3) = -84 + 10 = -74 \neq 0$ . Não há como $k = 10$ zerar o resto.

Alternativa C — ❌ Incorreta

$k = 3$ também não zera o resto. Com divisor $x - 2$ : $p(2) = -30 + 3 = -27 \neq 0$ ; com divisor $x - 3$ : $p(3) = -84 + 3 = -81 \neq 0$ . Incorreta.

Alternativa D — ❌ Incorreta

$k = -10$ : com divisor $x - 2$ , $p(2) = -30 - 10 = -40 \neq 0$ ; com divisor $x - 3$ , $p(3) = -84 - 10 = -94 \neq 0$ . Incorreta.

Alternativa E — ❌ Incorreta

$k = -30$ : com divisor $x - 2$ , $p(2) = -30 - 30 = -60 \neq 0$ ; com divisor $x - 3$ , $p(3) = -84 - 30 = -114 \neq 0$ . Incorreta.

NÃO CAIA NESSA!

A banca explora a confusão com o sinal da raiz: para $x - a$ , a raiz é $+a$ . Se você usar $x = -3$ (achando que a raiz é $-3$ ), obterá $p(-3) = 120 + k$ , e para zerar $k = -120$ , que não está nas opções. Além disso, há um provável erro no enunciado: o divisor deveria ser $x - 2$ para que $k = 30$ fosse a resposta correta. Fique atento a esses detalhes em provas.

PEGA ESSA DICA!

Para resolver questões de divisibilidade por $x - a$ , aplique sempre o Teorema do Resto: calcule $p(a)$ e iguale a zero. Confira o sinal da raiz e refaça as contas com atenção. Se o resultado não bater com as alternativas, desconfie de erro de digitação no enunciado e tente identificar qual divisor produziria o valor do gabarito.

Gabarito: letra A (com a ressalva de que o enunciado provavelmente contém erro; o valor correto para o divisor $x - 3$ seria $k = 84$ ).