Questão de Matemática — Trigonometria — FUNDATEC 2023

Trigonometria: cotangente e relação fundamental

Gabarito: letra A — o valor de sen(x) é $-\frac{2\sqrt{5}}{5}$. A partir de $2\cotg(x)=1$, obtemos $\cotg(x)=\frac{1}{2}$, ou seja, $\frac{\cos(x)}{\sen(x)}=\frac{1}{2}$. Usando a relação fundamental $\sen^2(x)+\cos^2(x)=1$ e o fato de que $\pi < x < \frac{3\pi}{2}$ (terceiro quadrante, onde seno e cosseno são negativos), chegamos ao resultado.

A cotangente é a razão entre o cosseno e o seno de um ângulo: $\cotg(x)=\frac{\cos(x)}{\sen(x)}$. A questão fornece $2\cotg(x)=1$, logo $\cotg(x)=\frac{1}{2}$. Isso significa que $\frac{\cos(x)}{\sen(x)}=\frac{1}{2}$, ou seja, $\cos(x)=\frac{\sen(x)}{2}$.

Substituindo na relação fundamental $\sen^2(x)+\cos^2(x)=1$, temos:

Portanto, $\sen(x)=\pm\frac{2}{\sqrt{5}}=\pm\frac{2\sqrt{5}}{5}$. Como $x$ está no terceiro quadrante ($\pi < x < \frac{3\pi}{2}$), o seno é negativo. Logo, $\sen(x)=-\frac{2\sqrt{5}}{5}$.

A pegadinha clássica aqui é esquecer de analisar o sinal da função seno conforme o quadrante. O valor absoluto $\frac{2\sqrt{5}}{5}$ aparece em duas alternativas (A e D), mas apenas a negativa é correta para o terceiro quadrante.

Alternativa A — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como demonstrado, $\sen(x)=-\frac{2\sqrt{5}}{5}$. O sinal negativo é obrigatório porque $x$ está no terceiro quadrante, onde o seno é negativo. A alternativa traz exatamente esse valor.

Alternativa B — ❌ Incorreta

$\frac{\sqrt{10}}{5}$ é um valor positivo, o que já o invalida, pois no terceiro quadrante o seno é negativo. Além disso, o módulo não corresponde ao resultado correto: $\frac{\sqrt{10}}{5} \approx 0,632$, enquanto $\frac{2\sqrt{5}}{5} \approx 0,894$. Esse valor não tem relação com o problema.

Alternativa C — ❌ Incorreta

$ -$\frac{\sqrt{10}}{5}$$ tem o sinal correto (negativo), mas o módulo está errado. O valor correto é $\frac{2\sqrt{5}}{5}$, não $\frac{\sqrt{10}}{5}$. A banca troca o radicando (5 por 10) para confundir quem não racionaliza corretamente.

Alternativa D — ❌ Incorreta

$\frac{2\sqrt{5}}{5}$ é o módulo do seno, mas com sinal positivo. Como $x$ está no terceiro quadrante, o seno é negativo. Essa alternativa é a armadilha principal: quem esquece de analisar o quadrante marca a letra D.

Alternativa E — ❌ Incorreta

$-\frac{\sqrt{5}}{5}$ tem o sinal correto, mas o módulo está errado. O valor correto é $\frac{2\sqrt{5}}{5}$, que é o dobro de $\frac{\sqrt{5}}{5}$. A banca troca o coeficiente para testar se o aluno fez a conta completa.

Gabarito: letra A