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Questão de Matemática — Geometria Plana — FUNDATEC 2023

MatemáticaGeometria Plana
Código
qq903933
Banca
FUNDATEC
Órgão
Prefeitura de Porto Xavier - RS
Ano
2023
Nível
Superior
Cargo
Professor de Ensino Fundamental Anos Finais - Área 2 - Matemática
Um paralelogramo ABCD tem lados que medem 6 e 10 cm e ângulos internos de medidas 60º e 120º. Nessas condições, qual é a área de ABCD?
  1. A60.
  2. B40√3.
  3. C40.
  4. D30√3.
  5. E30.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoD — 30√3.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra D — a conta chega a 30√3 cm² (alternativa D).

A ideia por trás

A área de um paralelogramo mede o espaço que ele ocupa no plano. Diferente de um retângulo, onde a altura é um dos lados, no paralelogramo a altura é a distância perpendicular entre as bases, que é menor que o lado oblíquo quando o ângulo não é reto. Por isso, a área não é simplesmente o produto dos lados.

A fórmula que relaciona os lados e o ângulo é A = b · c · sen θ, onde b e c são os lados adjacentes e θ é o ângulo entre eles. O seno do ângulo ajusta a altura: se θ = 90°, sen θ = 1 e a área é o produto dos lados; se θ diminui, o seno diminui e a área também. Para ângulos suplementares (como 60° e 120°), o seno é o mesmo, então qualquer um serve.

Nesta questão, temos os lados e um ângulo, então aplicamos diretamente essa fórmula. O passo crucial é lembrar que sen 60° = √3/2, e não confundir com sen 30° = 1/2.

O que a questão dá

  • lados = 6 cm e 10 cm

  • ângulos internos = 60° e 120°

O que queremos: a área do paralelogramo

Passo 1 — Escolher a fórmula da área

Precisamos de uma fórmula que use os dados que temos: dois lados e um ângulo. A área do paralelogramo pode ser calculada como o produto de dois lados adjacentes pelo seno do ângulo entre eles, porque o seno converte o lado oblíquo na altura efetiva.

Por que esta fórmula: A fórmula A = b · c · sen θ é a mais direta, pois não precisamos calcular a altura separadamente. Ela vem de A = base × altura, onde a altura é c · sen θ.

A=b⋅c⋅\senθA = b \cdot c \cdot \sen \theta

De onde vem cada valor: bb = enunciado: 10 cm · cc = enunciado: 6 cm · θ\theta = enunciado: 60° (ou 120°, pois sen 60° = sen 120°)

A=10⋅6⋅\sen60°A = 10 \cdot 6 \cdot \sen 60°
NÃO CAIA NESSA!

Usar o produto dos lados sem o seno, obtendo 60, como se fosse um retângulo.

Passo 2 — Calcular o seno de 60°

A fórmula exige o valor do seno do ângulo. Para 60°, esse valor é um número conhecido: √3/2. Precisamos substituí-lo para prosseguir.

Por que esta fórmula: O seno de 60° é um valor trigonométrico notável, que vale √3/2. Não há outra forma de calcular sem calculadora, então usamos esse valor exato.

\sen60°=32\sen 60° = \frac{\sqrt{3}}{2}

De onde vem cada valor: \sen60°\sen 60° = tabela trigonométrica ou círculo unitário

\sen60°=32=√3/2\sen 60° = \frac{\sqrt{3}}{2} = \boxed{√3/2}
NÃO CAIA NESSA!

Confundir com sen 30° = 1/2, o que levaria à alternativa E.

Passo 3 — Substituir o seno na fórmula

Agora que temos o valor do seno, substituímos na fórmula da área para obter uma expressão numérica.

Por que esta fórmula: É a mesma fórmula do passo 1, apenas com o valor do seno substituído.

A=10⋅6⋅32A = 10 \cdot 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}

De onde vem cada valor: 1010 = passo 1 · 66 = passo 1 · 32\frac{\sqrt{3}}{2} = passo 2

A=10⋅6⋅32A = 10 \cdot 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de multiplicar pelo seno, ou usar o ângulo errado.

Passo 4 — Fazer a multiplicação

Com a expressão montada, basta realizar as operações aritméticas para chegar ao valor da área.

Por que esta fórmula: Multiplicamos 10 por 6, depois dividimos por 2 e multiplicamos por √3, seguindo a ordem das operações.

A=10⋅62⋅3A = \frac{10 \cdot 6}{2} \cdot \sqrt{3}

De onde vem cada valor: 10⋅610 \cdot 6 = passo 3 · 22 = passo 3 (denominador) · 3\sqrt{3} = passo 3

A=602⋅3=30⋅3=30 √3cm2A = \frac{60}{2} \cdot \sqrt{3} = 30 \cdot \sqrt{3} = \boxed{30\ √3 \text{cm}^{2}}
NÃO CAIA NESSA!

Fazer 60 · √3 sem dividir por 2, obtendo 60√3, que não está nas alternativas.

Resposta: 30√3 cm² (alternativa D)

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